Doğal sayılar

Doğal sayılar, ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\}}$ şeklinde sıralanan tam sayılardır. Sayma sayılarına 0'ı ekleyerek elde edilir. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hâlâ sıfırın bir doğal sayı olarak alınıp alınmayacağı tartışma konusu olup cebirsel inşalar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.

Sayı değeri

Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.

Basamak değeri

9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının

• Birler basamağının basamak değeri :1
• Onlar basamağının basamak değeri :10
• Yüzler basamağının basamak değeri :100
• Binler basamağının basamak değeri :1.000
• On binler basamağının basamak değeri :10.000
• Yüz binler basamağının basamak değeri :100.000
• Milyonlar basamağının basamak değeri :1.000.000
• On milyonlar basamağının basamak değeri :10.000.000
• Yüz milyonlar basamağının basamak değeri :100.000.000

Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.

Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur..

12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000 = 2000 şeklinde bulunur.

Peano Belitleri tanımı

peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.

• Sıfır bir doğal sayıdır.
• Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
• Ardılı sıfır olan hiçbir doğal sayı yoktur.
• Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir.
• Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.

Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.

ZFC tanımı

Zermelo-Freankel küme kuramı doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, ${\displaystyle n^{+}}$, n${\displaystyle \cup }${n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.

${\displaystyle 0=\emptyset }$

${\displaystyle n^{+}=n\cup \{n\}}$

Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,

0={}

1={0}

2={0,1}

3={0,1,2}

...

n+1={0,1,...,n}

Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır.

Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR

${\displaystyle 0={\emptyset }}$ (sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)

${\displaystyle n^{+}=\{x\cup \{y\}\,|\,x\in n\,{\text{ve}}\,y\not \in x\}}$ (n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)

Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.

Büyüklük ve küçüklük ilişkileri

Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür.

İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”

${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\}}$ Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur.

Doğal sayılarda işlemler

Doğal sayılar toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdırlar. İki doğal sayının çarpımı veya toplamı yine bir doğal sayıdır. Örneğin: 3.5=15, 7.9=63 İki doğal sayının farkı veya bölümü bir doğal sayı olmayabilir bu nedenle doğal sayılar çıkarma ve bölme işlemine göre kapalı değildir. Örn: 9-12 = -3, 2/4 = 1/2 gibi.

Toplama işlemi

Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yapılır.

Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

• Toplamsal birim öğe:

a + 0 = a

• Toplamanın değişme özelliği:

a + b = b + a

• Toplamanın birleşme özelliği:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse ${\displaystyle Ard(n)}$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

1. ${\displaystyle a+0=a}$
2. ${\displaystyle a+Ard(b)=Ard(a+b)}$

Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse

${\displaystyle a+Ard(0)=ard(a+0)}$

sıfırın adrılı birdir, o halde,

${\displaystyle Ard(a)=a+1}$

olduğu kolaylıkla görülür.

Çarpma işlemi

Çarpma işlemi art arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.

Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

• Çarpımsal birim öğe:

a1 = a

• Çarpmanın değişme özelliği:

ab = ba

• Çarpmanın birleşme özelliği

(ab)c = a(bc)

• Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):

c(a + b) = ca + cb

Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse ${\displaystyle Ard(n)}$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

1. ${\displaystyle a1=a}$
2. ${\displaystyle a\,Ard(b)=ab+a}$