Abraham-Lorentz kuvveti

Elektromanyetizma fiziğinde, Abraham-Lorentz kuvveti (ayrıca Lorentz-Abraham kuvveti) elektromanyetik radyasyon yayması nedeniyle hızlanan yüklü bir parçacıktaki geri tepme kuvvet idir. Ayrıca radyasyon reaksiyon kuvveti veya kendinden kuvvet denir. Formül özel görelilik teorisini önceler ve ışık hızı düzeninin hızlarında geçerli değildir. Bunun göreli genellemesine "Abraham-Lorentz-Dirac kuvveti" denir. Bunların her ikisi de kuantum fiziği değil, klasik fizik 'in bilgi kapsamındadır. Bu nedenle yaklaşık olarak Compton dalga boyu veya altındaki mesafelerde geçerli olmayabilir. Ancak tamamıyla kuantum ve göreli olan benzer bir formül vardır, bu formül "Abraham-Lorentz-Dirac-Langevin denklemi" olarak adlandırılır.

Kuvvet, nesnenin yük ünün karesinin ivmenin zamana göre değişiminin (sarsım, İngilizce: jerk) çarpımıyla orantılıdır. Kuvvet sarsım yönündedir. Örneğin, sarsımın hız ile zıt yönde olduğu bir siklotronda, radyasyon reaksiyonu, frenleme eylemi sağlayan parçacığın hızı ile zıt yöndedir.

Abraham-Lorentz kuvveti probleminin çözümünün, gelecekten sinyallerin şu anı etkilediği kehanetinde bulunduğu ve dolayısıyla neden-sonuç ilkesinin önsezisine meydan okuduğu düşünülüyordu. Örneğin, bir taneciğin kuvvet uygulanmadan önce hızlandığını öngören Abharam-Lorentz-Dirac denklemini kullanan patolojik çözümler vardır. Bu çözümler ön hızlanma çözümleri olarak da adlandırılır. Bu problemin bir çözümü Yaghjian,[1] Rohrlich ve Medina [2] tarafından tartışılmıştır.

Tanım ve açıklama

Matematiksel olarak Abraham-Lorentz kuvveti uluslararası ölçü biriminde (İngilizce: SI units )

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} }$

veya Gauss ölçü biriminde (İngilizce’de cgs units )

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} .}$

Burada F_rad kuvet, ${\displaystyle \mathbf {\dot {a}} }$ salınım ( ivme nin türevi veya yerdeğiştirme nin üçüncü türevi ), μ₀ manyetik sabit, ε₀ elektrik sabiti, c boş alan daki ışık hızı ve q parçacığın elektrik yükü dür.

Bu formülün göreli olmayan hızlar için olduğunu unutmayınız; Dirac sadece göreli uyarlamasını bulmak için, hareket denklemindeki parçacığın kütlesini yeniden normalize etmiştir.

Fiziksel olarak, hızlanan bir yük, bu yükten uzakta momentum taşıyan radyasyonu yayar. ( Larmor formülü ne göre). Momentum korunduğundan, yük, yayılan radyasyon yönüne ters yönde itilir. Aşağıda gösterildiği gibi, aslında radyasyon kuvveti için yukarıdaki formül Larmor formülünden elde edilebilir.

Arka plan

Klasik elektrodinamikte problemler genel olarak iki sınıfa ayrılır:

1. Yükün ve geçerli alan kaynaklarının belirlendiği ve bu alanların hesaplandığı problemler ve
2. Tersine, alanların belirlendiği ve parçacığın hareketinin hesaplandığı problemler

Fiziğin bazı alanlarında; örneğin plazma fiziği ve taşıma katsayılarının (iletkenlik, difüzyon vs.) hesaplanmasında, kaynaklar tarafından oluşturulan alanlar ve kaynakların hareketi istikrarlı bir şekilde çözülür. Fakat bu gibi durumlarda, seçili kaynağın hareketi diğer tüm kaynaklar tarafından oluşturulan alanlara karşılık olarak hesaplanır. Parçacığın (kaynak) hareketinin aynı parçacık tarafından oluşturulan alanların sayesinde hesaplandığı nadirdir. Bunun nedeni iki yönlüdür:

1. Kendinden oluşumlu alanlar ın ihmal edilmesi genellikle birçok uygulama için yeterli doğrulukta cevaplara yol açar ve
2. Kendinden oluşumlu alanların dahil edilmesi fizikte, renormalizasyon gibi bazıları hala çözülememiş problemlere yol açar. Bu madde ve enerjinin doğası ile ilgilidir.

Kendinden oluşumlu alanlar tarafından meydana gelen bu kavramsal problemler, standart lisans metninde vurgulanmaktadır. [Jackson]

Bu problemin sunduğu zorluklar fiziğin en temel yönlerinden birine, temel parçacığın doğasına dokunmaktadır. Sınırlı alanlarda uygulanabilir kısmi çözümlerin verilebilmesine rağmen, temel problem çözümsüz kalmaktadır. Klasik yaklaşımlardan, kuantum mekaniksel yaklaşımlara geçiş zorlukları ortadan kaldırabileceği düşünülmekteydi. Bir yandan hala nihayetinde meydana gelebilecek bir umut varken, kuantum mekaniksel tartışmalar, klasik tartışmalardan bile daha ayrıntılı problemler ile kuşanmıştır. Kuantum elektrodinamiğindeki bu zorlukları önlemek için Lorent kovaryansı ve Lorentz değişmezliği kavramlarının akıllıca kullanılması ve bu sayede deneyle tam bir mutabakat içinde, son derecede yüksek hassasiyetteki çok küçük ışınımsal etkilerin hesaplanmasına olanak tanınması son yıllara (~1948–1950) nispeten önemli başarılardan biridir. Ancak temel bakış açısıyla problemler sürmektedir.

Abraham-Lorentz kuvveti kendinden oluşumlu alanların etkilerinin en temel hesaplanışının sonucudur. Hızlanan yüklerin radyasyon yaymasının gözlemlenmesinden ortaya çıkmıştır. Kuantum etkileri nin başlangıcı, kuantum elektrodinamiği ne yol açar. Kuantum elektrodinamiğindeki kendinden oluşumlu alanlar, hesaplamalarda sonlu sayıda renormalizasyon işlemiyle ortadan kaldırılabilen sonsuzluklar üretir. Bu, teorinin, insanların bugüne kadar yaptığı en doğru tahminleri yapabilmesine olanak tanıdı. Bakınız kuantum elektrodinamiği hassasiyet testi . Ancak renormalizasyon işlemi yerçekimi kuvvetine uygulandığında başarısız olur. Bu durumda sonsuzluklar sonsuz sayıdadır, bu da renormalizasyonun başarısızlığına sebep olur. Bu yüzden genel göreliliğin çözülemeyen bir problemi vardır. Sicim kuramı ve kuantum çekim döngüsü radyasyon reaksiyon problemi veya kendinden kuvvet problemi olarak adlandırılan bu problemi çözme girişimindedir.

Türetilişi

Kendinden kuvvet için en basit türevleniş; periyodik harekette, noktasal yükün radyasyonu için olan Larmor denkleminden bulunur:

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}}$

Eğer yüklü parçacığın hareketinin periyodik olduğunu varsayarsak, Abraham-Lorentz kuvvetinin parçacık üzerinde yaptığı ortalama iş, Larmor gücünün ${\displaystyle \tau _{1}}$ ve ${\displaystyle \tau _{2}}$ aralığındaki (bir periyot) integralinin negatif işaretlisine eşittir:

${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt}$.

Yukarıdaki ifadenin integralini kısımlara bölerek alabiliriz. Eger periyodik hareket olduğunu varsayarsak, parçalı integraldeki sınır terimleri yok olur:

${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt}$.

Açık bir şekilde aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} }$.

Periyodik hareket gerektirmeyen daha kesin bir türevleniş Alan Kuramı formülasyonu kullanılarak bulunmuştur. Tamamıyla göreli ifadeler bulunan bir başka alternatif türevleniş de Dirac tarafından bulunmuştur.

Gelecekten sinyaller

Aşağıdaki, klasik bir analizin nasıl şaşırtıcı sonuçlara yol açabileceğinin bir örneklemesidir. Klasik teori nedensellik ilkesine karşı gibi görünebilir ve dolasıyla teorinin hem çökme sinyalleri verdiği hem de genişletilmeye ihtiyacı olduğu düşünülebilir. Bu durumda genişleme kuantum mekaniği ve göreli karşılığı kuantum alan teorisi dir. Rohrlich’in[3] in the introduction concerning "fiziksel bir teorinin geçerli sınırlarına uymanın önemi" ile ilgili girişindeki alıntıya bakınız.

Harici kuvvet (İngilizce: external force ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$ ) etkisindeki bir parçacık için,

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.}$

eşitliğine sahibiz. Burada :${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$

Bu eşitliği bir kez integrallersek:

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$

Bu integral şu andan gelecekteki sonsuzluğa kadar uzar. Bu yüzden kuvvetin gelecek değerleri, parçacığın şu anki ivmesini etkiler. Gelecek değerleri, gelecekteki ${\displaystyle t_{0}}$ dan 4 kat büyük bir hızla azalan

${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$

faktörüyle ölçülebilir. Bu yüzden gelecekteki yaklaşık olarak bir ${\displaystyle t_{0}}$ zaman aralığından gelen sinyaller şu andaki ivmeyi etkiler. Bir elektron için bu zaman yaklaşık olarak ${\displaystyle 10^{-24}}$ saniyedir. Bu süre, bir ışık dalgasının bir elektronun büyüklüğü boyunca yol alması için geçen süreye eşittir.

Abraham–Lorentz–Dirac Kuvveti

Dirac göreli genellemeyi bulmak için 1938’de, denklemdeki Abraham-Lorentz kuvvetiyle hareket eden kütleyi yeniden normalize etti. Bu normalize edilen hareket denklemi Abraham–Lorentz–Dirac hareket denklemi olarak adlandırılır.

Tanım

Dirac tarafından elde edilen bu ifade (−, +, +, +) işaretlerinde,

${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{o}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right].}$

şeklinde verilir. Liénard'ın eş zamanlı hareket eden çerçeve deki Larmor formülünden elde ettiği

${\displaystyle P={\frac {\mu _{o}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi c}},}$

ile, güç aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.}$

Paradokslar

Göreli olmayan durumla benzer olarak, harici kuvvette değişim bekleyen ve buna göre bir taneciğin bir kuvvetin uygulanmasından önce hızlandığını öngören Abraham-Lorentz-Dirac denklemini kullanan, ön hızlanma çözümleri olarak da adlandırılan patolojik çözümler vardır. Bu problemin bir çözümü Yaghjian, Rohrlich ve Medina tarafından tartışılmıştır.

Kaynakça

1. Yaghjian, Arthur D. (2006). Relativistic Dynamics of a Charged Sphere: Updating the Lorentz–Abraham Model. Lecture Notes in Physics. 686 (2 bas.). New York: Springer. Chapter 8. ISBN 978-0-387-26021-1.
2. Rodrigo Medina (2006). "Radiation reaction of a classical quasi-rigid extended particle". Journal of Physics A: Mathematical and General. 39 (14). ss. 3801-3816. arXiv:physics/0508031 $2. Bibcode:2006JPhA...39.3801M. doi:10.1088/0305-4470/39/14/021.
3. F. Rohrlich: The dynamics of a charged sphere and the electron Am J Phys 65 (11) p. 1051 (1997) 22 Şubat 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. "The dynamics of point charges is an excellent example of the importance of obeying the validity limits of a physical theory. When these limits are exceeded the predictions of the theory may be incorrect or even patently absurd. In the present case, the classical equations of motion have their validity limits where quantum mechanics becomes important: they can no longer be trusted at distances of the order of (or below) the Compton wavelength… Only when all distances involved are in the classical domain is classical dynamics acceptable for electrons."

Konuyla ilgili yayınlar

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd bas.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. See sections 11.2.2 and 11.2.3
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.\
• Donald H. Menzel, Fundamental Formulas of Physics, 1960, Dover Publications Inc., ISBN 0-486-60595-7, vol. 1, page 345.

Dış bağlantılar

• MathPages – Does A Uniformly Accelerating Charge Radiate?4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Feynman: The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics12 Mayıs 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.