Ceva teoremi

Ceva Teoremi, herhangi bir ABC üçgeni verildiğinde, A, B ve C'den üçgenin zıt kenarlarına doğru olan doğru parçalarının üçgenin her iki kenarında oluşan doğru parçası çiftlerinin oranlarının çarpımı 1'e eşit olduğunda tek noktada kesiştiğini belirtir. Teorem adını İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'dan alır.

Ceva teoremi, durum 1: Üç doğru ABC üçgeninin içindeki bir O noktasında kesişir.

Ceva teoremi, durum 2: Üç doğru ABC üçgeninin dışındaki bir O noktasında kesişir.

Teoremin açıklaması

Ceva teoremi, düzlem geometrisindeki üçgenlerle ilgili bir teoremdir. Bir ABC üçgeni verildiğinde, köşelerden (ABC üçgeninin herhangi bir kenarı üzerinde olmayan) ortak bir O noktasına AO, BO ve CO doğrularının çizilmesine ve sırasıyla D, E ve F'de karşı kenarları kesmesine izin verin. (AD, BE ve CF doğru parçaları cevians olarak bilinir.). Daha sonra işaretli doğru parçalarının uzunluklarını kullanarak,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}$

Başka bir deyişle, XY uzunluğu, X'in Y'nin sağında veya solunda olmasına göre doğrunun bazı sabit yönlerinde pozitif veya negatif olarak alınır. Örneğin, AF/FB, F A ve B arasında olduğunda pozitif değerde, aksi takdirde ise negatif olarak tanımlanır.

Ceva teoremi, açılar, alanlar ve uzunluklar kavramları kullanılmadan ifade edilebilmesi ve kanıtlanabilmesi anlamında afin geometri'nin bir teoremidir (eşdoğrusal olan iki doğru parçasının uzunluklarının oranı hariç). Bu nedenle, herhangi bir cisim üzerinde herhangi bir afin düzlemdeki üçgenler için doğrudur.

Teoremin biraz uyarlanmış bir tersi de doğrudur: D, E ve F noktaları sırasıyla BC, AC ve AB üzerinde seçilirse,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}$

AD, BE ve CF kesişen veya üçü de paralel doğrulardır. Tersi genellikle teoremin bir parçası olarak dahil edilir.

Teorem genellikle onu 1678 tarihli De lineis rectis adlı eserinde yayınlayan Giovanni Ceva'ya atfedilir . Ancak, on birinci yüzyılda Zaragoza kralı Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd tarafından çok daha önce kanıtlanmıştı.[1]

Şekillerle ilişkili olarak Ceva'nın isminden türetilen birkaç terim vardır: cevian (AD, BE, CF doğruları O'nun cevianlarıdır), cevian üçgeni (DEF üçgeni O'nun cevian üçgenidir); cevian yuvası, anti-cevian üçgen, Ceva eşleniği. (Ceva, Chay'va olarak telaffuz edilir; cevian, chev'ian olarak telaffuz edilir.)

Teorem, Menelaus teoremine çok benzer, çünkü denklemleri sadece işaret bakımından farklılık gösterir.

İspatlar

Teoremin birkaç kanıtı verilmiştir.[2] [3] Aşağıda iki kanıt verilmiştir.

İlki, üçgen alanların yalnızca temel özelliklerini kullanan çok temel bir ispattır.[2] Bununla birlikte, O noktasının konumuna bağlı olarak birkaç durum dikkate alınmalıdır.

İkinci ispat, barisentrik koordinatları ve vektörleri kullanır, ancak bir şekilde daha doğaldır ve duruma bağlı değildir. Dahası, herhangi bir cisim üzerinde herhangi bir afin düzlemde işe yarar.

Üçgenlerin alanlarını kullanarak

Birincisi, sol tarafın işareti pozitiftir çünkü oranların üçü de pozitiftir, O'nun üçgenin içinde olduğu durum (üstteki şekil) veya biri pozitif ve diğer ikisi negatif, O'nun üçgenin dışında olduğu durum (alttaki şekil bu duruma bir örneği göstermektedir).

Büyüklüğü kontrol etmek için, belirli bir yüksekliğe sahip bir üçgenin alanının tabanıyla orantılı olduğuna dikkat edin. Yani

${\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}$

Bu nedenle,

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}$

(A ve O, BC'nin zıt kenarlarındaysa, eksi işaretini artı ile değiştirin.) Benzer şekilde,

${\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}$

ve

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}$

Bu üç denklemin çarpılması gerektiği gibi aşağıdaki ifadeyi verir:

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1,}$

Teorem, Menelaus teoremi kullanılarak da kolayca kanıtlanabilir. [4] ACF üçgeninin BOE transversalinden,

${\displaystyle {\frac {AB}{BF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1}$

ve BCF üçgeninin AOD transversalinden,

${\displaystyle {\frac {BA}{AF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}=-1.}$

Teoremi elde etmek için bu iki denklem birbirine bölünür.

Teoremin tersi, bir sonuç olarak ortaya çıkar.[2] D, E ve F noktaları sırasıyla BC, AC ve AB doğruları üzerinde verilsin. AD ve BE O noktasında kesişsin ve F′ CO’nun AB ile kesiştiği nokta olsun. Daha sonra teoreme göre denklem D, E ve F′ için de geçerlidir. İkisi karşılaştırılırsa,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}}$

Ancak en fazla bir nokta bir doğru parçasını belirli bir oranda kesebilir, böylece F = F′ elde edilir.

Barisentrik koordinatları kullanarak

Eşdoğrusal olmayan üç nokta A, B, C ve aynı düzleme ait bir O noktası verildiğinde, O'nun A, B, C'ye göre barisentrik koordinatları ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}$ şeklinde benzersiz üç sayıdır, öyle ki

${\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}$

ve her X noktası için,

${\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}$

olur. (bu ok gösteriminin tanımı ve daha fazla ayrıntı için Afin uzayına bakınız.)

Cava teoremi için, O noktasının üçgenin iki köşesinden geçen herhangi bir doğruya ait olmadığı varsayılır. Bu şu anlama gelir; ${\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}$

X için AB ve OC doğrularının F kesişimi alınırsa (şekillere bakın), son denklem şu şekilde yeniden düzenlenebilir:

${\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}$

Bu denklemin sol tarafı, CF doğrusuyla aynı yöne sahip bir vektördür ve sağ taraf, AB doğrusuyla aynı yöne sahiptir. A, B ve C eşdoğrusal olmadığından bu doğrular farklı yönlere sahiptir. Denklemin iki üyesinin sıfır vektörüne eşit olduğu ve

${\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}$

Buradan,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}$

burada sol taraf oranı, eşdoğrusal doğru parçaları AF ve FB uzunluklarının işaretli oranıdır.

Aynı mantık ile;

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{ve}}\quad {\frac {CE}{EA}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}$

Ceva teoremi, son üç denklemin çarpımını alarak hemen elde edilebilir.

Genellemeler

Teorem, barisentrik koordinatlar kullanılarak daha yüksek boyutlu simplekslere genelleştirilebilir. Her bir tepe noktasından zıt (n-1) yüz (faset) üzerindeki bir noktaya bir ışın olarak n-simpleks'in bir cevianını tanımlayın. Öyleyse cevianlar, ancak ve ancak köşelere bir kütle dağılımı atanabildiğinde, her cevianın, kütle merkezinde zıt faset ile kesiştiği durumlarda kesişir. Üstelik cevianların kesişme noktası simpleksin kütle merkezidir.[5] [6]

Routh'un teoremi, tek noktada kesişmedikleri takdirde üç cevianın oluşturduğu üçgenin alanını verir. Ceva teoremi, alanı sıfıra eşitleyip çözerek de buradan elde edilebilir.

Düzlemdeki genel çokgenler için teoremin analojisi, on dokuzuncu yüzyılın başlarından beri bilinmektedir.[7] Teorem ayrıca sabit eğriliğin diğer yüzeylerindeki üçgenlere de genelleştirilmiştir.[8]

Teorem ayrıca küresel ve hiperbolik geometri için iyi bilinen bir genellemeye sahiptir, oranlardaki uzunlukları sırasıyla sinüsleri ve hiperbolik sinüsleri ile değiştirir.

Ayrıca bakınız

• İzdüşümsel geometri
• Medyan (geometri) - bir uygulama

İlave okumalar

• Hogendijk (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician". Historia Mathematica. 22: 1-18. doi:10.1006/hmat.1995.1001.

Dış bağlantılar

• Menelaus and Ceva at MathPages
• Derivations and applications of Ceva's Theorem at cut-the-knot
• Trigonometric Form of Ceva's Theorem at cut-the-knot
• Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
• Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
• Ceva's Theorem by Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
• Eric W. Weisstein, Ceva's Theorem (MathWorld)
• Experimentally finding the centroid of a triangle with different weights at the vertices: a practical application of Ceva's theorem at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.
• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Ceva theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Ceva's theorem @geogebra
• Ceva's theorem @polymath
• Proof of Ceva's Theorem (Video, 3:38 dk)

Kaynaklar

1. Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. 2010. s. 210. ISBN 3-642-14440-3.
2. "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.
3. Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry, pages 177–180, Dover Publishing Co., second revised edition.
4. Follows "Art. 986". Inductive Plane Geometry. D.C. Heath & Co. 1902.
5. Landy (Aralık 1988). "A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions". The American Mathematical Monthly. 95 (10): 936-939. doi:10.2307/2322390.
6. Wernicke (Kasım 1927). "The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension". The American Mathematical Monthly. 34 (9): 468-472. doi:10.2307/2300222.
7. Grünbaum (1995). "Ceva, Menelaus and the Area Principle". Mathematics Magazine. 68 (4): 254-268. doi:10.2307/2690569.
8. Masal'tsev (1994). "Incidence theorems in spaces of constant curvature". Journal of Mathematical Sciences. 72 (4): 3201-3206. doi:10.1007/BF01249519.