Gerçel analiz

Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz, gerçel sayılar kümesi ile uğraşan bir matematiksel analiz dalıdır. Özelde, gerçel sayıların yakınsaklığını ve gerçel sayıların dizilerinin limitlerini, gerçel sayıların hesabını, sürekliliğini, pürüzsüzlüğünü ve gerçel değerli fonksiyonların ilişkin özelliklerini de içerecek şekilde gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle uğraşır.

Kapsamı

Gerçel analiz, analizin diziler ve dizilerin limitleri, süreklilik, türev alma, integral alma ve fonksiyon dizileri gibi kavramlarıyla uğraşan bir dalıdır. Bununla birlikte gerçel analizin kapsamı gerçel sayılarla sınırlıdır.

Gerçel analiz, karmaşık sayıların hemen hemen aynı özelliklerini çalışan karmaşık analize oldukça yakındır. Karmaşık analizde türevi, tekrar eden türevlilik, kuvvet serisi şeklinde ifade edilebilirlik ve Cauchy integral formülünü sağlamak gibi özelliklere sahip holomorf fonksiyonlar yoluyla tanımlamak doğaldır.

Bununla birlikte, gerçel analizde, daha geniş bir uygulama alanına sahip ancak holomorf fonksiyonların bazı güçlü özelliklerinden mahrum olan türevlenebilir, pürüzsüz veya harmonik fonksiyonları ele almak daha doğaldır. Cebirin temel teoremi gibi bazı sonuçlar da karmaşık sayılar cinsinden ifade edildiklerinde daha basit bir hale bürünürler.

Diğer taraftan, gerçel sayıların kendilerinin de bazı önemli analitik özellikleri vardır. Tamamen sıralıdırlar, ve en küçük üst sınır özelliğine sahiptirler. Bu iki özellik gerçel analizde Monoton yakınsaklık teoremi, Ara değer teoremi ve Ortalama değer teoremi gibi birçok önemli özelliğe önayak olurlar.

Bununla birlikte; gerçel analizdeki genellikle gerçel sayılar için ifade edilen sonuçlar matematiğin başka alanlarında da kullanılabilirler - karmaşık dizilerin gerçel kısmını ve sanal kısmını ele almak veya operatör dizilerinin nokta değerlendirimi gibi. Tersine, diğer alanlardaki teknikler de gerçel analizde sık sık kullanılır - gerçel integrallerin kalıntı hesabı ile bulunması gibi.

Anahtar kavramlar

Gerçel analizin temeli gerçel sayıların rasyonel sayılardan inşasıdır ki genellikle bu da Dedekind kesimleriyle veya Cauchy dizilerinin tamlamasıyla yapılır.

Gerçel analizdeki anahtar kavramlar gerçel diziler ve limitleri, süreklilik, türev ve integraldir.

Gerçel analiz ayrıca, karmaşık analiz, fonksiyonel analiz ve harmonik analiz gibi diğer analiz alanlarına başlangıç noktası olarak da kullanılabilir. Topolojiyi geliştirmek için ve uygulamalı matematik gibi diğer alanlarda bir araç olarak da kullanılabilir.

Önemli sonuçlar, Bolzano-Weierstrass teoremi, Heine-Borel teoremi, ara değer teoremi, ortalama değer teoremi, hesabın temel teoremi ve monoton yakınsaklık teoremidir.

Ayrıca bakınız

• Gerçel Analiz Konuları Listesi
• Karmaşık analiz

Kaynakça

• Andrew Browder, Mathematical Analysis: An Introduction.
• Bartle and Sherbert, Introduction to Real Analysis.
• Stephen Abbott, Understanding Analysis.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis.
• Frank Dangello and Michael Seyfried, Introductory Real Analysis.
• Andrew J Watts, Real Analysis Explained

Dış bağlantılar

• Analiz İnternet notları27 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. John Lindsay O rr tarafından
• Interaktif Gerçel Analiz Bert G. Wachsmuth tarafından
• Başlangıç Analiz Dersi27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. John O'Connor tarafından
• Mathematiksel Analiz I13 Eylül 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Elias Zakon tarafından