Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar ya da oranlı sayılar, iki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir ve ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ile gösterilir. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ kümesi genelde şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}}$
(a ve b tam sayı ve b sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir)

${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {4}{6}}}$ veya ${\displaystyle {\frac {6}{9}}}$ eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi ${\displaystyle a\!}$ ve ${\displaystyle b\!}$ tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı ${\displaystyle a/b\!}$ ifadesidir.

Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü ${\displaystyle -3={\frac {-3}{1}}}$ veya ${\displaystyle 0={\frac {0}{1}}}$ veya ${\displaystyle 43={\frac {43}{1}}}$ şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, tam sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'yi kapsar. Yani ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$.

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır. ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ kümesinden seçilmiş keyfi (a,b) ve (c,d) ögeleri için "~" bağıntısı ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc,\quad b,d\not =0}$ olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları ${\displaystyle {\overline {(a,b)}}=\{(a,b)|(a,b)\sim (c,d)\}}$ olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\overline {(a,b)}}}$ şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{-}}$ile gösterilir.

Örneğin

Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

Tanım

Rasyonel kelimesi İngilizcedeki rational olup İtalyanca quoziente, "quotient" kelimesinin başharfi olarak Q işareti ile gösterilir.

Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri

• ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Q} }$ olmak üzere:

Rasyonel sayılar aşağıda gösterildiği gibi birbirlerine eklenir:

1. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

Rasyonel sayılar arasındaki çarpma işlemlerinin kuralı aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

Rasyonel sayılar arasındaki bölme işlemi aşağıda gösterildiği gibidir:

• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}}$

Toplamaya ve Çarpmaya göre terslik özellikleri rasyonel sayılar içinde geçerlidir:

• ${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{ve}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}\quad {\mbox{eğer}}\quad x\neq 0}$

Rasyonel sayıların eşitliği

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ olmak üzere ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak ${\displaystyle ad=bc\!}$ olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten ${\displaystyle ad=bc\!}$ koşulunu içermekteydi.

Rasyonel sayıları karşılaştırma (büyüklük, küçüklük)

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar

Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

Örneğin

${\displaystyle {\frac {7}{20}}>{\frac {3}{20}}}$

Burada paydalar eşit ve yirmidir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'ten daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:

Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

Payları eşit olan rasyonel sayılar

Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanır:

${\displaystyle {\frac {5}{6}}>{\frac {5}{10}}}$

Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır.

Ne payları ne de paydaları eşit olan rasyonel sayılar

${\displaystyle {\frac {3}{4}}>{\frac {2}{10}}}$

Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.

Paydaların eşitlenmesi

Her iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.

${\displaystyle {\frac {3}{4}}>{\frac {2}{10}}{\mbox{ ise }}{\frac {3\cdot 10}{4\cdot 10}}>{\frac {2\cdot 4}{10\cdot 4}}}$

Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de ${\displaystyle 10\cdot 4}$ yani 40'tır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir.

İçler dışlar çarpımı

Birinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {2}{10}}{\mbox{ ise }}3\cdot 10=4\cdot 2{\mbox{ buna göre }}30>8}$

Arada olma

İki rasyonel sayı arasına bir ya da birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.

Kaynakça