Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler

I birim matris olmak üzere.

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

• Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}}$

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ_i ±1 olduğu açıkça görülebilir.

• Birim matris I (bazen σ₀ olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\quad i\neq j\,\!}$

• Yukarıdaki ifadeler kullanılarak ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ Levi-Civita sembolü, ${\displaystyle \delta _{ij}}$ Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}$

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,}$.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}$

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad (1)\,}$

(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)

en genel tanımıyla ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}}$ olarak verilen bir a vektörü için

${\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}$

(1)' in ispatı

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})\,}$	${\displaystyle =a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\,}$
	${\displaystyle =a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\,}$
	${\displaystyle =a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\,}$
	${\displaystyle =a_{i}b_{j}\delta _{ij}+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\,}$
	${\displaystyle ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\,}$

(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}$

tek kuvvetler için

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}$

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

${\displaystyle e^{ix}\,}$	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\,}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}$

${\displaystyle x=a({\hat {n}}\cdot \sigma )\,}$ yerine koyularak

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{2n!}}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}$

sonuçta,

${\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}$

ifadesine ulaşılır.

Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

${\displaystyle S_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}\quad i=1,2,3}$

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin ${\displaystyle \pm \hbar /2}$ olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.