Çifte karmaşık sayılar

İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı

${\displaystyle z=a+\mathbf {e} _{1}b+\mathbf {e} _{2}c+\mathbf {e} _{3}d}$

şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=-1}$

iken

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}^{2}=1}$

olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.

Bu maddede ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$, yâni hiperbolik birim genellikle ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ile gösterilecektir.

Tanım

Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme çifte karmaşık sıfatını almıştır.

İki karmaşık birim sayı tanımı

İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım:

${\displaystyle \mathbb {C} _{1}=\{a+\mathbf {i} _{1}b\,|\,a,b\in \mathbb {R} {\text{ ve }}\mathbf {i} _{1}^{2}=-1\}}$

ve

${\displaystyle \mathbb {C} _{2}=\{a+\mathbf {i} _{2}b\,|\,a,b\in \mathbb {C} _{1}{\text{ ve }}\mathbf {i} _{2}^{2}=-1\}}$.

Yâni biri gerçel sayılardan elde ettiğimiz alışık olduğumuz karmaşık sayılar kümesi, diğeri ise alışık olduğumuz karmaşık sayılardan elde ettiğimiz daha geniş bir halka. Bu kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir.

O halde, ${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$ kümesindeki her öğe,

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} _{1}b+\mathbf {i} _{2}c+\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}d}$

şeklinde yazılabilir. Buradaki iki birimin çarpımı

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}=\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{1}}$

olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

${\displaystyle \mathbf {h} ^{2}=(\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2})^{2}=\mathbf {i} _{1}^{2}\mathbf {i} _{2}^{2}=(-1)(-1)=1}$

özelliğini sağlar. Bu takdirde her çifte karmaşık sayı,

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} _{1}b+\mathbf {i} _{2}c+\mathbf {h} d}$

olarak ifade edilebilir.

Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı

Eğer hiperbolik bir sayının tanımını

${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+\mathbf {h} b\,|\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ ve }}\mathbf {h} ^{2}=1\}}$

gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

${\displaystyle z=(a+\mathbf {i} b)+(c+\mathbf {i} d)\mathbf {h} =a+\mathbf {i} b+\mathbf {h} c+\mathbf {h} \mathbf {i} d}$

şeklinde ifade edilecektir. Burada

${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {h} \mathbf {i} =\mathbf {i} \mathbf {h} }$ ve bu takdirde ${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}=-1}$

olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b+\mathbf {h} c+\mathbf {k} d}$

şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

Ayrıca bakınız

• Bölüm halkası