İntegral dönüşümü

Matematikte, bir integral dönüşümü aşağıdaki formun T herhangi dönüşümü:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt}$

bu dönüşümün girişi bir f fonksiyonudur, ve çıkış diğer Tf fonksiyonudur. Bir integral dönüşümü matematik işlemcinin bir özel türüdür.

Bu çok sayıda kullanışlı integral dönüşümlerdir. Her iki değişkenin K fonksiyonunun bir seçimi çekirdek fonksiyon veya dönüşümün çekirdeği ile belirtilir.

Bazı çekirdeklerin ters çekirdek K⁻¹(u, t) için ilişkisi olan (kaba değimle) bir ters dönüşüm elde edilir:

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du}$

Bir simetrik çekirdek bir de eğer,iki değişken değiştirilmemişse sırası değiştirilmiştir.

Alıştırma

Matematiksel gösterim bir yana,integral dönüşümler arkasında alıştırma anlaşılmayı kolaylaştırır. Burada bu problemlerin birçok sınıfı için çözüm zordur—veya en azından oldukça hantal cebrik —burada orijinal gösterimler içinde . Bir integral dönüşüm orijinal "domen" den diğer domen içine bir denklem "göndermeler"dir . Manipulasyon ve hedef domen içinde denklem çözümü çok daha kolay manipulasyondan ve orijinal domen içinde çözümden çözümlenebilir. Çözüm o zaman dönüşümün tersi ile orijinal domene geri eşlenendir.

Ayrıca buradaki integral dönüşümler üzerinde güvenilir bu olasılığın birçok uygalamalarıdır, böylece "pricing kernel" veya stokastik indirim faktörü, veya sağlam istatistiklerden kurtarılan verileri düzeltme, bakınız çekirdek (istatistik).

Kullanım örneği

İntegral dönüşümlerinin bir uygulamasının bir örneği olarak, Laplace dönüşümünü düşünün. Bu "karmaşık frekans" domeni denilen yerleri polinom denklemlerinin içine "zaman" domeni(en:time domain) diferansiyel veya integro-diferansiyel denklemlerini eşleştiren bir tekniktir. (Karmaşık frekans gerçek fiziksel frekansa benzer, fakat çok daha geneldir. Spesifik olarak, kompleks frekans ω sanal bileşen s = -σ + iω yani, frekans olağan kavramına gelir., Hızı, bir sinüs eğrisi döngüleri,oysa karmaşık frekans gerçek bileşeni σ "sönüm" derecesine tekabül eder.) karmaşık frekans açısından denklemin dökümü kolayca karmaşık frekans domeninde çözülmektedir (karmaşık frekans alanında polinom denklemlerinin kökleri özdeğerler karşılık zaman etki alanı), frekans domeninde formüle edilmiş bir "çözüm"e yol açar. Karmaşık frekans domeninde eksenel kaymalar zaman alanında üstel bozulması ile sönümlemeye karşılık gelir ise, bu örnekte, (tipik payda oluşan) karmaşık frekans domeninde polinomlar, zaman alanında güç serisine karşılık gelmektedir.

Laplace dönüşümü fizik ve karmaşık frekans domeninde özellikle elektrik mühendisliğinde bir elektrik devresinin davranışını tanımlayan karakteristik denklemlerin (en:Characteristic equation (calculus))üstel sönümlü ölçekli doğrusal kombinasyonlarına karşılık gelir, ve zaman domeninde sinüzoidlerde zaman kaymıştır.

Farklı domenler

Burada integral dönüşümleri gerçek sayılar üzerinde fonksiyonlar için tanımlanmış, ancak bir grup üzerinde fonksiyonlar için daha genel tanımlanabilir.

• Eğer tek bir çemberin yerine (periyodik fonksiyonlar) çeşitli fonksiyonları kullanıyorsa, entegrasyon çekirdeklerin ardından biperiodik işlevleri vardır;daire üzerinde fonksiyonlarla evrişim dairesel evrişimi verir.
• (${\displaystyle C_{n}}$ veya ${\displaystyle \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$) bir n sırasının döngüsel grup üzerinde fonksiyonlarını kullanıyorsa, bir entegrasyon çekirdekleri olarak n × n matrisleri elde edilir; evrişim dairesel matrislere karşılık gelir.

Genel teori

Integral dönüşümler özellikleri çok farklı olsa da, ortak bazı özellikleri vardır. Örneğin her integral dönüşüm bir doğrusal işlemcidir. Ötesi integral, bir doğrusal işlemcidir ve aslında eğer çekirdeği bir genelleştirilmiş fonksiyona izin verirse o zaman tüm operatörler integral dönüşümlerdir (bu ifadenin bir şekilde formüle versiyonu Schwartz çekirdeği teoremi vardır).

Bu tür integral denklemlerin genel teorisi Fredholm teorisi olarak bilinir. Bu teoriye göre, çekirdek fonksiyonların bir Banach uzayı üzerinde etkili kompakt operatör olduğu anlaşılmaktadır.Duruma bağlı olarak, çekirdeği daha sonra değişik Fredholm operatörü, nükleer operatörü veya Fredholm çekirdek olarak adlandırılır.

Dönüşüm tablosu

İntegral dönüşümlerinin tablosu

Dönüşüm	Sembol	K	f(t)	t1	t2	K^−1	u1	u2
Fourier dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle L_{1}}$	−∞	∞	${\displaystyle {\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	−∞	∞
Fourier sinüs dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle [0,\infty )}$ üzerinde, gerçek-değerli	0	∞	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	0	∞
Fourier kosinüs dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle [0,\infty )}$ üzerinde, gerçek-değerli	0	∞	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	0	∞
Hartley dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		−∞	∞	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	−∞	∞
Mellin dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	t^u−1		0	∞	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
İki-taraflı Laplace dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	e^−ut		−∞	∞	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Laplace dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	e^−ut		0	∞	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Weierstrass dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		−∞	∞	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Hankel dönüşümü		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		0	∞	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	0	∞
Abel dönüşümü		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		u	∞	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	t	∞
Hilbert dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		−∞	∞	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	−∞	∞
Poisson çekirdeği		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		0	2π
Özdeş dönüşüm		δ(u−t)		t1 < u	t2 > u	δ(u−t)	u1 < t	u2 > t
N-dönüşümü	${\displaystyle {\mathcal {N}}}$	e^−st	f(ut)	0	∞	${\displaystyle {\frac {e^{st/u}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$

Ters dönüşüm için entegrasyonun sınırları içinde, c donuşum işlevinin doğasına bağımlı olan bir sabittir. Örneğin, bir ve iki taraflı Laplace dönüşümü için, c dönüşüm fonksiyonunun sıfırlarının en büyük gerçek kısmından daha büyük olmalıdır

Ayrıca bakınız

• Bateman dönüşümü
• Evrişim çekirdeği
• Dairesel evrişim
• Dairesel matris
• Diferansiyel denklemler
• Çekirdek hilesi
• Çekirdek metotları
• Dönüşümlerin listesi
• İşlemcilerin listesi
• Fourier-ilişkili dönüşümleri listesi
• Nachbin's teoremi
• Üreyen çekirdek
• Sembolik integrasyon