Barbier teoremi

Geometride, Barbier teoremi, kesin şekli ne olursa olsun, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresinin, genişliğinin π katı olduğunu belirtir.[1] Bu teorem, ilk olarak Joseph-Émile Barbier tarafından 1860'da yayınlandı.[2]

Bu Reuleaux çokgenleri, sabit genişliğe sahiptir ve tümü aynı genişliğe sahiptir; bu nedenle Barbier teoremine göre aynı zamanda eşit çevreleri vardır.

Örnekler

Eşkenar üçgenden faydalanarak 3 yaydan oluşan Reuleaux üçgenini çizmek.

Sabit genişliğe sahip eğrilerin en bilinen örnekleri çember ve Reuleaux üçgenidir. Bir çember için genişlik, çapla aynıdır; ${\displaystyle w}$ genişliğinde bir çemberin çevresi ${\displaystyle \pi w}$'dur. ${\displaystyle w}$ genişliğine sahip bir Reuleaux üçgeni, ${\displaystyle w}$ yarıçaplı üç yaydan oluşur. Bu yayların her birinin merkezi açısı ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ kadardır, bu nedenle ${\displaystyle w}$ genişliğindeki Reuleaux üçgenin çevresi, ${\displaystyle w}$ yarıçaplı bir dairenin çevresinin yarısına yani ${\displaystyle \pi w}$'ya eşittir. Reuleaux poligonları gibi diğer basit örneklerin benzer bir analizi de aynı sonucu verir.

İspatlar

Teoremin bir kanıtı, Minkowski toplamlarının özelliklerini kullanır. Eğer ${\displaystyle K}$, sabit ${\displaystyle w}$ genişliğine sahip bir cisim ise, ${\displaystyle K}$ ve 180° dönüşünün Minkowski toplamı yarıçapı ${\displaystyle w}$ ve çevresi ${\displaystyle 2\pi w}$ olan bir disktir. Bununla birlikte, Minkowski toplamı, dışbükey cisimlerin çevresi üzerinde doğrusal olarak etki eder, bu nedenle ${\displaystyle K}$'nin çevresi, teoremin belirttiği gibi ${\displaystyle \pi w}$ olan bu diskin çevresinin yarısı olmalıdır.[3]

Alternatif olarak teorem, herhangi bir eğrinin uzunluğunun, eğriyi kesen çizgiler kümesinin ölçüsüne eşit olduğu ve bunların kesişme sayılarıyla çarpıldığı integral geometrideki Crofton formülünü takip eder. Aynı sabit genişliğe sahip herhangi iki eğri, aynı ölçüye sahip çizgi kümeleriyle kesişir ve bu nedenle aynı uzunluktadırlar. Tarihsel olarak, Crofton formülünü Barbier teoreminden daha sonra ve ondan bağımsız olarak türetmiştir.[4]

Teoremin temel bir olasılık kanıtı, Buffon'un iğnesinde bulunabilir.

Daha yüksek boyutlar

Barbier'in sabit genişliğe sahip yüzeyler için geliştirdiği teoreminin analojisi yanlıştır. Özellikle birim küre, ${\displaystyle 4\pi \approx 12,566}$ yüzey alanına sahipken, aynı sabit genişlikteki bir Reuleaux üçgeninin dönme yüzeyi ile ${\displaystyle 8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11,973}$ yüzey alanına sahiptir.[5]

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

• Eric W. Weisstein, Barbier's Theorem (MathWorld)
• Barbier teoremi @ Encyclopedia of Mathematics
• Ross Honsberger: The Theorem of Barbier. In: Ingenuity in Mathematics, S. 157–64. Mathematical Association of America, 1970.
• Fillmore, J. P. (1970). Barbier’s theorem in the Lobachevski plane. Proceedings of the American Mathematical Society, 24(4), ss. 705-709.
• Cieslak, W., & Gozdz, S. (1990). On Barbier's theorem. Matematički Vesnik, 42(108), ss. 11-16.
• Araújo, P. V. (1996). Barbier's theorem for the sphere and the hyperbolic plane. ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE, 42, ss. 295-310.
• Bogomolny, A. (2001). The theorem of Barbier. MAA Online (September).
• Klamkin, M. S. (1955). On Barbier's Solution of the Buffon Needle Problem. Mathematics Magazine, 28(3), ss. 135-138.
• Yaz, N. (2005). Sabit Genişlikli Eğrilerin Kinematiği, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, Doktora Tezi, s. 14

Ayrıca bakınız

• Blaschke–Lebesgue teoremi
• İzoperimetrik eşitsizlik
• Sabit genişlikteki eğrilerin alanlarını sınırlamak

Kaynakça

1. Lay (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, ISBN 9780486458038
2. Barbier (1860), Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (PDF), 2^e série (Fransızca), 5, ss. 273-286. See in particular ss. 283–285.
3. The Theorem of Barbier (Java) 23 Mayıs 2012 tarihinde WebCite sitesinde arşivlendi @ cut-the-knot.
4. Sylvester (1890), On a funicular solution of Buffon's "problem of the needle" in its most general form (PDF), 14 (1), ss. 185-205, doi:10.1007/BF02413320.
5. Bayen (2012), Semidefinite programming for optimizing convex bodies under width constraints, 27 (6), ss. 1073-1099, doi:10.1080/10556788.2010.547580, 17 Aralık 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 10 Ekim 2020.