Reuleaux üçgeni

Bir Reuleaux üçgeni (Fransızca telaffuz: [ʁœlo]), merkezi diğer ikisinin sınırında bulunan üç çembersel diskin kesişmesinden oluşan bir şekildir. Sınırı, dairenin kendisinden başka en basit ve en iyi bilinen bu eğri, bir sabit genişlikli eğridir.[1] Sabit genişlik, her iki paralel destek doğrusunun aralığının yönlerinden bağımsız olarak aynı olduğu anlamına gelir. Tüm çapları aynı olduğu için Reuleaux üçgeni, "Daire dışında, delikten düşmemesi için bir rögar kapağı hangi şekillerde yapılabilir?" sorusunun cevabıdır.[2]

Bir Reuleaux üçgenin sınırı, eşkenar üçgene dayanan sabit genişlikli bir eğridir. Bir taraftaki tüm noktalar karşı köşeden eşit uzaklıktadır.

Açıklama

Reuleaux üçgenlerine küresel üçgenler de denir, ancak bu terim daha doğru bir şekilde bir kürenin eğimli yüzeyine çizilen üçgenleri ifade eder. Adlarını, bir hareket türünü diğerine çevirmek için makinelerin incelenmesine öncülük eden ve tasarımlarında Reuleaux üçgenleri kullanan 19. yüzyıl Alman mühendisi[3] Franz Reuleaux'dan almıştır.[4] Bununla birlikte, bu şekiller onun zamanından önce, örneğin Gotik kilise pencerelerinin tasarımcıları, onu bir harita projeksiyonu için kullanan Leonardo da Vinci ve sabit genişlikteki şekiller üzerine yaptığı çalışmada Leonhard Euler tarafından biliniyordu. Reuleaux üçgeninin diğer uygulamaları arasında; gitar penaları, yangın musluğu somunları, kurşun kalemler ve kare delikler açmak için matkap uçlarına şekil vermenin yanı sıra bazı işaretler ve kurumsal logoların şekillerinde grafik tasarımda kullanımı da yer alır.

Belirli bir genişliğe sahip sabit genişlikte şekiller arasında, Reuleaux üçgeni köşelerinde minimum alana ve mümkün olan en keskin (en küçük) açıya (120°) sahiptir. Birkaç sayısal ölçü ile merkezi simetrik olmaktan en uzak olanıdır. Bir tam sayı kafesinin noktalarından kaçınarak en büyük sabit genişlikte şekli sağlar ve çevre-çap oranını maksimize eden dörtgen şekliyle yakından ilgilidir. Her zaman karenin dört kenarına dokunarak bir kare içinde tam bir dönüş yapabilir ve bu özelliği ile mümkün olan en küçük şekil alanına sahiptir. Ancak, bu döndürme sürecinde karenin çoğunu kaplasa da, karenin köşelerine yakın alanının küçük bir bölümünü kaplayamamaktadır. Bir kare içinde dönme özelliğinden dolayı, Reuleaux üçgeni bazen Reuleaux rotoru olarak da bilinir.[5]

Reuleaux üçgeni, sınırları tek sayıda kenarlı düzgün çokgenlerden oluşan sabit genişlikte eğriler olan Reuleaux çokgenlerinin bir dizisinin ilk elemanıdır. Bu eğrilerin bir kısmı madeni para şekli olarak kullanılmıştır. Reuleaux üçgeni, birden çok şekilde üç boyuta da genelleştirilebilir: Reuleaux dört yüzlüsü (merkezleri normal bir dört yüzlü (tetrahedron) üzerinde uzanan dört topun kesişimi) sabit genişliğe sahip değildir, ancak sabit genişliğe sahip Meissner dört yüzlüsü oluşturmak için kenarları yuvarlatılarak değiştirilebilir. Alternatif olarak, Reuleaux üçgeninin dönel yüzeyi de sabit genişliğe sahiptir.

Oluşturulması

Bir Reuleaux üçgeninin oluşturulması

Reuleaux üçgeni doğrudan üç çemberin kesiştirilmesiyle veya bir eşkenar üçgenin kenarlarını yuvarlayarak oluşturulabilir.[6]

Üç çemberli inşa, bir cetvele bile ihtiyaç duymadan, yalnızca bir pergel ile gerçekleştirilebilir. Mohr-Mascheroni teoremine göre, aynı şey daha genel olarak herhangi bir pergel ve düz kenarlı cetvel çizimleri için doğrudur[7] ancak Reuleaux üçgeninin oluşturulması özellikle basittir. İlk adım, düzlemin (sonunda üçgenin köşeleri haline gelecek olan) rastgele iki noktasını işaretlemek ve pusulayı, işaretli noktalardan birinde ortalanmış bir çember çizmek için diğer işaretli noktadan geçmektir. Daha sonra, işaretli diğer noktada ortalanmış ve ilk işaretli noktadan geçen, aynı yarıçapta ikinci bir çember çizilir. Son olarak, yine aynı yarıçapta, merkezi önceki iki çemberin iki kesişme noktasından birinde işaretlenmiş her iki noktadan geçen üçüncü bir çember çizilir.[8] Ortaya çıkan üç çemberin düzenlenmiş merkez bölgesi bir Reuleaux üçgeni olacaktır.[6]

Alternatif olarak, bir Reuleaux üçgeni eşkenar üçgen T’den, her biri T’nin bir köşesinde ortalanmış ve diğer iki köşeyi birleştiren üç çember yayı çizilerek oluşturulabilir.[9] Veya eşdeğer olarak, yarıçapı T’nin kenar uzunluğuna eşit olan, T’nin köşelerinde ortalanmış üç diskin kesişimi olarak da inşa edilebilir.[10]

Matematiksel özellikler

Bir Reuleaux üçgeninin paralel destek doğruları

Reuleaux üçgeninin en temel özelliği, sabit genişliğe sahip olmasıdır, yani her bir paralel destek doğrusu çifti için (her ikisi de şekle, içinden geçmeden şekle dokunan aynı eğimdeki iki doğru), iki doğrunun bu doğruların yönüne bakılmaksızın birbirlerinden aynı Öklid uzaklığına sahiptir.[9] Herhangi bir paralel destek doğrusu çiftinde, iki doğrudan biri zorunlu olarak üçgene köşelerinden birinde dokunacaktır. Diğer destek doğrusu, üçgene karşı yay üzerindeki herhangi bir noktada dokunabilir (teğet olabilir) ve mesafeleri (Reuleaux üçgeninin genişliği) bu yayın yarıçapına eşittir.[11]

Sabit genişlikte eğrilerin varlığını keşfeden ve Reuleaux üçgeninin sabit genişliğe sahip olduğunu gözlemleyen ilk matematikçi Leonhard Euler olabilir.[5] Euler, 1771'de sunduğu ve 1781'de yayınlanan De curvis triangularibus adlı bir makalede, eğrisel üçgenlerin yanı sıra orbiform olarak adlandırdığı sabit genişlikte eğrileri de inceledi.[12][13]

Uç ölçüler

Reuleaux üçgeni, birçok farklı ölçüte göre, sabit genişliğin en uç eğrilerinden biridir.

Blaschke–Lebesgue teoremine göre, Reuleaux üçgeni verilen sabit genişlikte herhangi bir eğrinin mümkün olan en küçük alanına sahiptir. Bu alan aşağıdaki şekilde hesaplanır:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.70477s^{2},}$

burada s sabit genişliktir. Bu alan formülünü türetmenin bir yöntemi, Reuleaux üçgenini bir iç eşkenar üçgene ve bu iç üçgen ile Reuleaux üçgenini oluşturan yaylar arasında üç eğrisel bölgeye bölmek ve ardından bu dört kümenin alanlarını eklemektir. Diğer uçta, mümkün olan maksimum alana sahip sabit genişliğin eğrisi, ${\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.78540s^{2}}$ alana sahip olan bir dairesel disktir.[14]

Bir Reuleaux üçgeninin köşelerinde her yay çifti tarafından oluşturulan açıların tümü 120°'ye eşittir. Bu, sabit genişliğe sahip herhangi bir eğrinin herhangi bir tepe noktasındaki olası en keskin açıdır.[9] Ek olarak, sabit genişliğe sahip eğriler arasında, Reuleaux üçgeni hem en büyük hem de en küçük kirişler eşkenar üçgenlerine sahip olandır.[15] Bir Reuleaux üçgeninde en büyük kirişler eşkenar üçgeni, üç köşesini birleştiren ve en küçük olanı, kenarlarının üç orta noktasını birbirine bağlayandır. Üç veya daha fazla çapa ait noktalardan oluşan Reuleaux üçgeninin alt kümesi, bu iki üçgenden daha büyük olanının iç kısmıdır; sabit genişlikteki diğer herhangi bir eğrinin üç çaplı noktalarından daha büyük bir alana sahiptir.[16]

Asimetrisini ölçmek için kullanılan Reuleaux üçgeni içindeki ve dışındaki merkezi simetrik şekiller

Reuleaux üçgeni, bir eşkenar üçgenle aynı olan altı katlı iki düzlemli (dihedral) simetriye sahip olmasına rağmen, merkezi simetriye sahip değildir. Reuleaux üçgeni, iki farklı merkezi asimetri ölçüsüne göre sabit genişliğin en az simetrik eğrisidir; Kovner-Besicovitch ölçüsü (alanın, eğri tarafından çevrelenen en büyük merkezi simetrik şekle oranı) ve Estermann ölçüsü (alanın, eğriyi çevreleyen en küçük merkezi simetrik şekle oranı). Reuleaux üçgeni için, asimetri ölçülerini belirleyen iki merkezi simetrik şeklin ikisi de altıgendir, ancak içteki kıvrımlı kenarlara sahiptir.[17] Reuleaux üçgeni, alanını sabit genişliğe sahip diğer herhangi bir eğriden daha eşit olmayan şekilde bölen çaplara sahiptir. Yani, başka bir asimetri ölçüsü olan bir çapın her iki tarafındaki maksimum alanlara oranı, Reuleaux üçgeni için sabit genişliğe sahip diğer eğrilere göre daha büyüktür.[18]

Bir tam sayı kafesinin tüm noktalarından kaçınan sabit genişlikteki tüm şekiller arasında, en büyük genişliğe sahip olan bir Reuleaux üçgenidir. Yarım tam sayı doğrusu üzerinde koordinat eksenlerine paralel simetri eksenlerinden birine sahiptir. Yaklaşık 1.545 olan genişliği, tam sayı katsayıları olan bir 6. derece polinomun köküdür.[17][19][20]

Bir çemberin kendisine dokunan altı eş çember ile çevrelenmesi mümkün olduğu gibi, aynı boyuttaki merkezi bir Reuleaux üçgeni ile temas edecek şekilde yedi uyumlu Reuleaux üçgeni inşa etmek de mümkündür. Bu, sabit genişliğe sahip herhangi bir eğri için mümkün olan maksimum sayıdır.[21]

Bir Reuleaux üçgeni içine çizilmiş, çevre/çap oranını en üst düzeye çıkaran bir eş köşegeneluçurtma

Tüm dörtgenler arasında, en büyük çevre çap oranına sahip olan şekil bir eş köşegenel uçurtmadır ve bir Reuleaux üçgeni içine çizilebilir.[22]

Diğer ölçüler

Barbier teoremine göre, Reuleaux üçgeni dahil aynı sabit genişliğe sahip tüm eğriler eşit çevre uzunluğuna sahiptir. Özellikle bu çevre, aynı genişliğe sahip dairenin çevresine eşit olup ${\displaystyle \pi s}$ ile hesaplanır.[23][24][9]

Reuleaux üçgeni, iç teğet çember ve çevrel çember

Genişliği s olan bir Reuleaux üçgenin en büyük iç teğet çemberinin ve aynı üçgenin çevrel çemberinin yarıçapları sırasıyla;

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.42265s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.57735s}$

Bu yarıçapların toplamı Reuleaux üçgeninin genişliğine eşittir. Daha genel olarak, sabit genişliğe sahip her eğri için, en büyük iç teğet çember ve en küçük çevrel çember eş merkezlidir ve yarıçaplarının toplamı eğrinin sabit genişliğine eşittir.[25]

Çözülememiş matematik problemleri listesi

Reuleaux üçgenleri düzlemde ne kadar yoğun olarak sıkıştırılabilir?

Reuleaux üçgeninin düzlemdeki en ideal sıkıştırma yoğunluğu kanıtlanmamıştır, ancak aşağıdaki gibi olduğu tahmin edilmektedir:

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.922888,}$

bu da, şekiller için olası bir çift kafes sıkıştırmanın yoğunluğudur. Sıkıştırma yoğunluğunun kanıtlanmış en iyi üst sınırı yaklaşık 0,947275'tir.[26] Reuleaux üçgenlerinin sabit genişliğe sahip herhangi bir eğri içinde en yüksek sıkıştırma yoğunluğuna sahip olduğu varsayılmış ancak kanıtlanmamıştır.[27]

Kare içinde dönme

Bir Reuleaux üçgenin bir kare içindeki dönüşü, üçgenin merkezi tarafından izlenen eğriyi de gösterir

Sabit genişlikte herhangi bir eğri, kare içinde bir rotor oluşturabilir; kare içinde kalırken ve her zaman karenin dört kenarına dokunarak tam bir dönüş gerçekleştirebilen bir şekildir. Bununla birlikte, Reuleaux üçgeni, mümkün olan minimum alana sahip rotordur.[9] Dönerken ekseni tek bir noktada sabit kalmaz, bunun yerine dört elips parçasının oluşturduğu bir eğri izler.[28] 120° açıları nedeniyle dönen Reuleaux üçgeni, karenin köşelerinde daha keskin açıların yakınında bazı noktalara ulaşamaz, bunun yerine yine eliptik yaylardan oluşan hafif yuvarlatılmış köşeli bir şekli kaplar.

Dört elipsten biri ve takip eden bir kare içinde dönen Reuleaux üçgeninin merkezi

Bir karenin köşelerinden birini (sol altta) dönen bir Reuleaux üçgeni tarafından süpürülen bölgeden ayıran elips

Bu dönüş sırasında herhangi bir noktada, Reuleaux üçgeninin iki köşesi karenin iki bitişik kenarına temas ederken, üçgenin üçüncü köşesi karenin zıt tepe noktasına yakın bir eğri çizer. Dönen Reuleaux üçgeninin izlediği şekil, karenin yaklaşık% 98,77'sini kaplar.[29]

Bir karşı örnek olarak

Reuleaux'nun Reuleaux üçgenini incelemeye yönelik orijinal motivasyonu, bir karşı örnek olarak, üç tek noktalı bağlantının düzlemsel bir nesneyi tek bir konuma sabitlemek için yeterli olmayabileceğini gösteriyordu.[30] Reuleaux üçgenlerinin ve sabit genişliğe sahip diğer eğrilerin varlığı, çap ölçümlerinin tek başına bir nesnenin çembersel bir kesite sahip olduğunu doğrulayamayacağını göstermektedir.[31]

Kirişler karesi problemi ile bağlantılı olarak Eggleston (1958), Reuleaux üçgeninin, düzgün altıgen dışında, dört kenardan daha fazla düzgün çokgenin kirişler çokgeni olamayacağı sabit genişlikte bir şekil örneği sağladığını gözlemledi ve bu şekle, sabit genişliğini koruyan ancak aynı zamanda düzgün altıgenlerin kirişler çokgeni olmasını engelleyen  küçük bir değişiklik yaptı. Kesiti ile aynı şekle sahip bir silindiri kullanarak bu sonucu üç boyuta genelleştirdi.[32]

Uygulamalar

Köşelere ulaşmak

Bir kare içinde dönebilme özelliğine bağlı olarak, çeşitli makine türleri Reuleaux üçgeni şeklini alır.

Watts Brothers Tool Works kare matkap ucu, kesme yüzeylerini oluşturmak için içbükeyliklerle değişikliğe uğramış bir Reuleaux üçgeni şekline sahiptir. Ucun sabit bir dönme merkezine sahip olmamasına izin veren özel bir aynaya monte edildiğinde, neredeyse kareye yakın bir delik açabilir.[33] 1914'te Henry Watts tarafından patenti alınmış olmasına rağmen, başkaları tarafından icat edilen benzer matkaplar daha önce kullanıldı.[9] Diğer Reuleaux çokgenleri beşgen, altıgen ve sekizgen delikler açmak için kullanılır.[9][33]

Panasonic'in RULO robot elektrik süpürgesi, odaların köşelerindeki tozu temizlemeyi kolaylaştırmak için Reuleaux üçgenine dayanan bir şekle sahiptir.[34][35]

Yuvarlanan silindirler

Silindirik ve Reuleaux üçgen ruloların karşılaştırılması

Reuleaux üçgeninin başka bir uygulama sınıfı, Reuleaux üçgen kesitine sahip silindirik nesneleri içerir. Daha geleneksel yuvarlak veya altıgen variller yerine bu şekilde birkaç kurşun kalem üretilmiştir.[36] Genellikle daha rahat oldukları veya doğru tutuşu teşvik ettikleri ve masalardan yuvarlanma olasılıkları daha düşük olduğu (ağırlık merkezi dönen bir altıgenden daha fazla yukarı ve aşağı hareket ettiği için) şeklinde tanıtılırlar.

Bir Reuleaux üçgeni (diğer tüm sabit genişlikli eğrilerle birlikte) yuvarlanabilir, ancak sabit bir dönme merkezi etrafında dönmediği için zayıf bir tekerlek oluşturur. Reuleaux üçgen kesitine sahip silindirlerin üstündeki bir nesne düzgün ve düz bir şekilde yuvarlanır, ancak Reuleaux üçgen tekerleklerine takılan bir aks, devir başına üç kez yukarı ve aşağı seker.[9][37] Bu kavram, Poul Anderson tarafından "Üç Köşeli Tekerlek (The Three-Cornered Wheel)" adlı kısa bir bilim kurgu öyküsünde kullanıldı.[11][38] Yüzer akslara sahip bir bisiklet ve Reuleaux üçgeni şeklindeki tekerleğinin kenarıyla desteklenen bir çerçeve, 2009 yılında aynı şekle sahip kalemlerden ilham alan Çinli mucit Guan Baihua tarafından yapıldı ve gösterildi.[39]

Mekanizma tasarımı

Sovyet Luch-2 8mm film projektöründe Reuleaux üçgen tabanlı film ilerleme mekanizması

Reuleaux üçgeninin başka bir uygulama sınıfı, onun sabit bir eksen etrafında dönüşünü ileri geri harekete (öteleme hareketine) dönüştürebilen mekanik bağlantının bir parçası olarak kullanmayı içerir.[10] Bu mekanizmalar Franz Reuleaux tarafından incelenmiştir. Gustav Voigt şirketinin yardımıyla Reuleaux, birçoğu Reuleaux üçgenini içeren yaklaşık 800 model mekanizma inşa etti.[40] Reuleaux bu modelleri, hareketlerinin öncü bilimsel araştırmalarında kullandı.[41] Reuleaux–Voigt modellerinin çoğu kaybolmuş olsa da, 9'u Reuleaux üçgenine dayalı olmak üzere 219'u Cornell Üniversitesi'nde toplandı.[40][42] Bununla birlikte, mekanizma tasarımında Reuleaux üçgenlerinin kullanılması Reuleaux'nun çalışmasından önce gelir; Örneğin, bazı buhar motorları kam bir Reuleaux üçgeni şeklinde 1830 gibi erken bir zamanda vardı.[43][44]

Bu ilkenin bir uygulaması, bir film projektöründe ortaya çıkar. Bu uygulamada, filmi sarsıntılı, kademeli bir hareketle ilerletmek gerekir, burada her film karesi projektör merceğinin önünde saniyenin bir kısmı için durur ve ardından çok daha hızlı bir şekilde bir sonraki çerçeveye geçer. Bu, bir Reuleaux üçgeninin bir kare içindeki dönüşünün, filmi hızla her yeni kareye çeken ve ardından çerçeve yansıtılırken filmin hareketini duraklatan bir aktüatör için bir hareket modeli oluşturmak amacıyla kullanıldığı bir mekanizma ile yapılabilir.[45]

Wankel motorunun rotoru, genellikle bir Reuleaux üçgeni örneği olarak gösterilen eğrisel bir üçgen şeklindedir.[3][5][9][44] Bununla birlikte, kıvrımlı kenarları bir Reuleaux üçgeninden biraz daha düzdür ve bu nedenle sabit genişliğe sahip değildir.[46]

Mimari

Belçika'daki Bruges Meryem Ana Kilisesi'nin Reuleaux üçgeni şekilli penceresi

Gotik mimaride, 13. yüzyılın sonlarından veya 14. yüzyılın başlarından[47] başlayarak, Reuleaux üçgeni pencereler, pencere oyma ve diğer mimari süslemelerde sıklıkla kullanılan eğrisel biçimlerden biri haline geldi.[3] Örneğin, İngiliz Gotik mimarisinde bu şekil, hem 1250–1290 geometrik üslubu hem de 1290–1350 eğrisel üslupla devam eden süslü dönemle ilişkilendirilmiştir. Milano Katedrali'nin bazı pencerelerinde de görülür.[48] Bu bağlamda, şekil daha çok küresel üçgendir,[49][50] ancak küresel üçgenin daha genel matematiksel anlamı bir kürenin yüzeyindeki bir üçgendir (aynı zamanda mimaride yaygın olarak kullanılan pandantif bir şekil). Gotik kilise mimarisinde kullanımda, Reuleaux üçgenin üç köşeli şekli, hem teslisin bir sembolü,[51] ve hem de "çember şeklinde karşı bir hareket" olarak görülebilir.[52]

Reuleaux üçgeni diğer mimari tarzlarda da kullanılmıştır. Örneğin Leonardo da Vinci, bu şekli bir sur planı olarak çizmiştir.[42] Reuleaux üçgeni şeklindeki bir kat planı kullandığı iddia edilen modern binalar arasında MIT Kresge Oditoryumu, Kölntriangle, Donauturm, Torre de Collserola ve Mercedes-Benz Müzesi bulunmaktadır.[53] Ancak çoğu durumda bunlar, Reuleaux üçgeninden farklı geometriye sahip, yalnızca yuvarlak üçgenlerdir.

Harita yapımı

Reuleaux üçgeninin bir başka erken uygulaması, yaklaşık 1514 tarihli olan da Vinci'nin dünya haritasıdır, dünyanın küresel yüzeyinin her biri bir Reuleaux üçgeni şeklinde düzleştirilmiş sekiz oktana bölündüğü bir dünya haritasıydı.[54][55][56]

Sekiz Reuleaux üçgeni içindeki Leonardo da Vinci'nin dünya haritası

Reuleaux üçgenine dayanan benzer haritalar 1551'de Oronce Finé ve 1580'de John Dee tarafından yayınlanmıştır.[56]

Diğer nesneler

Reuleaux üçgen şekilli gitar penaları

Birçok gitar penası Reuleaux üçgenini kullanır, çünkü şekli güçlü bir artikülasyon sağlamak ve sıcak bir tını üretmek için, keskin bir nokta ile geniş bir ucu birleştirir. Şeklin üç noktası da kullanılabilir olduğundan, tek uçlu bir mızraba göre yönlendirilmesi daha kolaydır, daha az ve yavaş aşınır.[57]

Bir yangın musluğunun yasadışı kullanımı, Philadelphia, 1996 ve böyle bir kullanımı önlemek için Reuleaux üçgen şekilli somunu olan daha yeni bir Philadelphia yangın musluğu.

Reuleaux üçgeni, bir yangın musluğu vanası somununun enine kesiti için şekil olarak kullanılmıştır. Bu şeklin sabit genişliği, standart paralel çeneli anahtarlar kullanılarak yangın musluğunun açılmasını zorlaştırır; bunun yerine özel şekilli bir anahtar gereklidir. Bu özellik, yangın musluklarının (özel anahtarı olan) itfaiyeciler tarafından açılmasına izin verir, ancak musluğu diğer faaliyetler için su kaynağı olarak kullanmaya çalışan diğer kişiler tarafından açılamaz.[58]

Yaklaşık bir Reuleaux üçgeni üzerine yerleştirilmiş sekiz anteninden yedisi ile Submilimeter Dizisi

Keto (1997) bir önerisini takiben,[59] Hawaii'deki Mauna Kea'da bir radyo dalgası astronomik gözlemevi olan Submilimeter Dizisinin antenleri, iç içe geçmiş dört Reuleaux üçgeni üzerinde düzenlenmiştir.[60][61] Anteni sabit genişlikte bir eğri üzerine yerleştirmek, gözlemevinin tüm yönlerde aynı uzaysal çözünürlüğe sahip olmasına neden olur ve dairesel bir gözlem ışını sağlar. Sabit genişliğe sahip en asimetrik eğri olan Reuleaux üçgeni, diziden gelen sinyalin Fourier dönüşümü için düzlemin en düzgün kapsamına götürür. Antenler, her bir gözlemin istenen açısal çözünürlüğüne göre farklı gözlemler için bir Reuleaux üçgeninden diğerine hareket ettirilebilir. Antenlerin bu Reuleaux üçgenleri üzerindeki hassas yerleşimi bir sinir ağı kullanılarak en ideal hale getirildi. Bazı yerlerde, inşa edilen gözlemevi, tercih edilen Reuleaux üçgen şeklinden ayrılıyor çünkü bu şekil verilen alan içinde mümkün değildi.

İşaretler ve logolar

Birçok işaret ve kurumsal logo için kullanılan kalkan şekillerinde yuvarlak üçgenler bulunur. Ancak, bunlardan sadece bazıları Reuleaux üçgenleridir.

Avrupa, Kuzey Amerika ve Afrika'da büyük operasyonları yapan Belçikalı bir petrol şirketi olan Petrofina'nın (Fina) kurumsal logosu, 1950'den Petrofina'nın 2000'de Total SA ile birleşmesine kadar Fina adıyla bir Reuleaux üçgeni kullandı.[62][63] Bavyera Brewery'nin güneyi gösteren pusulası olan Reuleaux üçgeninde çerçevelenen bir diğer kurumsal logo, SAN 2010 Yılın Reklamvereni ödülünü kazanan tasarım şirketi Total Identity tarafından yapılan bir makyajın parçasıydı.[64] Reuleaux üçgeni, Colorado Maden Okulu'nun logosunda da kullanılmıştır.[65]

Amerika Birleşik Devletleri'nde, Ulusal Yollar Sistemi (National Trails System) ve Amerika Birleşik Devletleri Bisiklet Güzergah Sistemi (United States Bicycle Route System) yolları tabelada Reuleaux üçgenleriyle işaretler.[66]

Doğada

Dört balonlu düzlemsel sabun köpüğü kümesinin matematiksel modelinde merkezi balon olarak Reuleaux üçgeni

Plateau yasalarına göre, iki boyutlu sabun köpüğü kümelerindeki dairesel yaylar, bir Reuleaux üçgeninin köşelerinde bulunan aynı açı ile 120°'lik açılarda buluşur. Bu gerçeğe dayanarak, baloncukların bir kısmının bir Reuleaux üçgeni şeklini aldığı kümeler oluşturmak mümkündür.[67]

Şekil ilk olarak 2014 yılında Reuleaux üçgen diskleri olarak kristal formda izole edildi.[68] Reuleaux üçgen şeklindeki temel bizmut nitrat diskleri, 2,3-bis (2-piridil) pirazin varlığında bir etanol-su sisteminde bizmut nitratın hidrolizi ve çökelmesinden oluşturulmuştur.

Genellemeler

Reuleaux üçgeninden sabit bir mesafede noktaların konumu olarak, keskin köşelerden daha düzgün, sabit genişlikte üçgen eğriler elde edilebilir.[69] Reuleaux üçgeninin diğer genellemeleri arasında üç boyutlu yüzeyler, üçten fazla kenarı olan sabit genişliğe sahip eğriler ve genişlik, çap ve yarıçap arasındaki eşitsizliğin en uç örneklerini sunan Yanmouti kümeleri bulunur.

Üç boyutlu versiyon

Bir Reuleaux dört yüzlüsü oluşturmak için dört top kesişir.

Yan uzunluğu s olan düzgün bir dört yüzlünün köşelerinde ortalanmış s yarıçaplı dört topun kesişme noktasına Reuleaux dört yüzlüsü denir, ancak yüzeyi, bir sabit genişlikli yüzey değildir.[70] Bununla birlikte, kenar yaylarının üçünü dairesel bir yayın dönüş yüzeyleri olan kavisli yüzeylerle değiştirerek Meissner dört yüzlüsü denilen sabit genişlikte bir yüzey haline getirilebilir. Alternatif olarak, bir Reuleaux üçgeninin simetri eksenlerinden biri boyunca dönel yüzeyi, verilen sabit genişliğe sahip bilinen tüm dönel yüzeyler arasında minimum hacimle sabit genişlikte bir yüzey oluşturur.[71]

Reuleaux çokgenleri

Reuleaux poligonları

Birleşik Arap Emirlikleri 50 fils Reuleaux yedigeni madeni para

Reuleaux üçgeni, sabit yarıçaplı dairesel yaylardan oluşan sabit genişlikte bir eğri olan bir Reuleaux çokgeni oluşturan tek sayıda kenara sahip düzgün veya düzgün olmayan çokgenlere genelleştirilebilir. Bu şekillerin sabit genişliği, bozuk parayla çalışan makinelerde kullanılabilecek madeni para olarak kullanılmalarına izin verir.[9] Genel dolaşımda bu tür madeni paraların genellikle üçten fazla kenarı olmasına rağmen, bir Reuleaux üçgeni Bermuda'da bir hatıra parası için kullanılmıştır.[53]

Benzer yöntemler, genişliği belirli bir çokgenin çapına eşit olan sabit genişlikte bir eğri içine rastgele bir basit çokgeni dahil etmek için kullanılabilir. Elde edilen şekil dairesel yaylardan oluşur (en fazla çokgenin kenarları kadar), doğrusal zamanda algoritmik olarak oluşturulabilir, pergel ve cetvel ile çizilebilir.[72] Reuleaux çokgenlerinin hepsinde tek sayıda dairesel yay kenarı olmasına rağmen, değişen yarıçaplara sahip çift sayıda dairesel yay kenarı olan sabit genişlikte şekiller oluşturmak da mümkündür.[73]

Yanmouti kümeleri

Yanmouti kümeleri, bir eşkenar üçgenin üç dairesel yay ile birlikte dışbükey örtü (zarf) olarak tanımlanır, üçgenin köşelerinde ortalanır ve üçgenin kenar uzunluğuna en fazla eşit olan eş yarıçaplarla üçgenle aynı açıyı kapsar. Böylece, yarıçap yeterince küçük olduğunda, bu kümeler, eşkenar üçgenin kendisine dejenere olur, ancak yarıçap mümkün olduğunca büyük olduğunda karşılık gelen Reuleaux üçgenine eşittirler. Genişliği w, çapı d ve yarıçapı r (şeklin içerdiği olası en büyük dairenin yarıçapı) olan her şekil aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

ve bu eşitsizlik, artık iyileştirilemeyeceğini gösteren Yanmouti kümeleri için bir eşitlik haline gelir.[74]

İlgili şekiller

Triquetra bir üç yapraklı düğüm oluşturmak için birbirine geçmiştir.

Üç kümeli bir Venn diyagramının üst üste binen üç çember olarak klasik sunumunda, merkezi bölge (üç kümenin tümüne ait öğeleri temsil eder) bir Reuleaux üçgeni şeklini alır.[3] Aynı üç çember, Borromean halkalarının standart çizimlerinden birini, ancak geometrik çemberler olarak gerçekleştirilemeyen karşılıklı bağlantılı üç halkayı oluşturur.[75] Aynı çemberlerin bu parçaları, ortasında yine bir Reuleaux üçgeni bulunan, üst üste binen üç yarım daire şeklindeki (her ikisi bir vesica piscis sembolü oluşturur) Triquetra'yı oluşturmak için kullanılır;[76] Venn şemasının üç çemberi Borromean halkalarını oluşturmak için iç içe geçirilebildiği gibi, triquetranın üç dairesel yayı da bir yonca düğümü oluşturmak için iç içe geçirilebilir.[77]

Reuleaux üçgeninin yakınları, sabit bir alanı çevreleyen ve düzlemde belirtilen üç noktayı içeren minimum çevre şeklini bulma probleminde ortaya çıkar. Alan parametresinin çok çeşitli seçenekleri için, bu probleme en uygun çözüm, üç kenarı eşit yarıçaplı dairesel yaylar olan eğri bir üçgen olacaktır. Özellikle, üç nokta birbirinden eşit uzaklıkta olduğunda ve alan Reuleaux üçgeni olduğunda, Reuleaux üçgeni en uygun kapamadır.[78]

Dairesel üçgenler, Reuleaux üçgeni ve diğer şekiller de dahil olmak üzere dairesel yay kenarlı üçgenlerdir. Deltoid eğrisi, eğrisel üçgenin başka bir türüdür, ancak eşkenar üçgenin her iki tarafını değiştiren eğrilerin dışbükey değil içbükey olduğu bir eğridir. Dairesel yaylardan oluşmaz, ancak bir çemberin diğerinin üç katı yarıçap içinde yuvarlanmasıyla oluşturulabilir.[79] Üç eğimli kenarı olan diğer düzlemsel şekiller arasında, eş doğrusal uç noktalara sahip üç yarım daireden oluşan arbelos[80] ve Bézier üçgeni bulunur.[81]

Reuleaux üçgeni, 120° açılı bir küresel üçgenin uyumlu görüntüsü olarak da yorumlanabilir.[67] Bu küresel üçgen, (3/2, 3/2, 3/2 parametreli) Schwarz üçgenlerinden biridir, bir kürenin yüzeyinde yansıma yoluyla kaplayabilen büyük çember yaylarıyla sınırlanmış üçgenlerdir.[82]

Kaynakça

1. Gardner (2014) buna en basit, Gruber (198, s. 59) ise "en kötü şöhretli" diyor.
2. Klee, Victor (1971), "Shapes of the future", The Two-Year College Mathematics Journal, 2 (2), ss. 14-27, doi:10.2307/3026963, JSTOR 3026963.
3. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, Dolciani Mathematical Expositions, 45, Mathematical Association of America, s. 155, ISBN 978-0-88385-352-8.
4. Moon, F. C. (2007), The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century, History of Mechanism and Machine Science, 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0.
5. Bryant, John; Sangwin, Chris (2011), How Round Is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press, s. 190], ISBN 978-0-691-14992-9.
6. Hann, Michael (2014), Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice, A&C Black, s. 34, ISBN 978-1-4725-8431-1.
7. Hungerbühler, Norbert (1994), "A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem", American Mathematical Monthly, 101 (8), ss. 784-787, CiteSeerX 10.1.1.45.9902 $2, doi:10.2307/2974536, JSTOR 2974536, MR 1299166.
8. Bu inşa yöntemi, Maor & Jost (2014) tarafından kısaca açıklanmıştır ve örneğin Alex Franke tarafından, 21 Ağustos 2011 tarihli Fun with Reuleaux triangles videosunda görülebilir.
9. Gardner, Martin (2014), "Chapter 18: Curves of Constant Width", Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens, The New Martin Gardner Mathematical Library, 4, Cambridge University Press, ss. 223-245, ISBN 978-0-521-75613-6.
10. Klee, Victor; Wagon, S. (1991), Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Dolciani mathematical expositions, 11, Cambridge University Press, s. 21, ISBN 978-0-88385-315-3.
11. Maor, Eli; Jost, Eugen (2014), "46 The Reuleaux Triangle", Beautiful Geometry, Princeton University Press, ss. 154-156, ISBN 978-1-4008-4833-1.
12. Reich, Karin (2007), "Section 1.4: "Orbiforms, 1781"", Bradley, Robert E.; Sandifer, Ed (Edl.), Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, Studies in the History and Philosophy of Mathematics, 5, Elsevier, ss. 479-502, doi:10.1016/S0928-2017(07)80026-0, ISBN 9780444527288.
13. Euler, Leonhard (1781), "De curvis triangularibus", Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Latince), cilt 1778, ss. 3-30. Orbiformların tanımları için özellikle sayfa 7'ye bakın.
14. Gruber, Peter M. (1983), Convexity and its Applications, Birkhäuser, s. 67], ISBN 978-3-7643-1384-5
15. Gruber (1983, s. 76)
16. Makeev, V. V. (2000), "An extremal property of the Reuleaux triangle", Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), 267 (Geom. i Topol. 5), ss. 152-155, 329, doi:10.1023/A:1021287302603, MR 1809823.
17. Finch, Steven R. (2003), "8.10 Reuleaux Triangle Constants" (PDF), Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, ss. 513-514, ISBN 978-0-521-81805-6.
18. Groemer, H.; Wallen, L. J. (2001), "A measure of asymmetry for domains of constant width", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2), ss. 517-521, MR 1865537.
19. Gruber (1983, s. 78)
20. Sallee, G. T. (1969), "The maximal set of constant width in a lattice", Pacific Journal of Mathematics, 28 (3), ss. 669-674, doi:10.2140/pjm.1969.28.669, MR 0240724.
21. Fejes Tóth, L. (1967), "On the number of equal discs that can touch another of the same kind", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, cilt 2, ss. 363-367, MR 0221388; Schopp, J. (1970), "Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (Almanca), cilt 5, ss. 475-478, MR 0285983.
22. Ball, D.G. (1973), "A generalisation of π", The Mathematical Gazette, 57 (402), ss. 298-303, doi:10.2307/3616052, JSTOR 3616052; Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", The Mathematical Gazette, 59 (409), ss. 165-175, doi:10.2307/3617699, JSTOR 3617699.
23. Lay, Steven R. (2007), "Theorem 11.11", Convex Sets and Their Applications, Dover, ss. 81-82, ISBN 978-0-486-45803-8.
24. Barbier, E. (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF), Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2^e série (Fransızca), cilt 5, ss. 273-286. Özellikle 283–285. sayfalara bakın.
25. Lay (2007), Teorem 11.8, ss. 80–81.
26. Blind, G.; Blind, R. (1983), "Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (Almanca), 18 (2–4), ss. 465-469, MR 0787951. Ayrıca bkz. Blind, G.; Blind, R. (1987), "Reguläre Packungen mit Reuleaux-Dreiecken", Results in Mathematics (Almanca), 11 (1–2), ss. 1-7, doi:10.1007/BF03323256, MR 0880190
27. Resnikoff, Howard L. (2015), On Curves and Surfaces of Constant Width, arXiv:1504.06733 $2, Bibcode:2015arXiv150406733R.
28. Gleiftner, Winfried; Zeitler, Herbert (Mayıs 2000), "The Reuleaux triangle and its center of mass", Results in Mathematics, 37 (3–4), ss. 335-344, doi:10.1007/bf03322004.
29. Pickover, Clifford A. (2009), "Reuleaux Triangle", The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, s. 266, ISBN 978-1-4027-5796-9.
30. Moon (2007), s. 239.
31. Granovsky, V. A.; Siraya, T. N., "Metrological traceability and quality of industrial tests measurements", Pavese, F.; Bär, M.; Filtz, J.-R.; Forbes, A. B.; Pendrill, L.; Shirono, K. (Edl.), Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX, World Scientific, ss. 194-201. Özellikle bkz. s. 200.
32. Eggleston, H. G. (1958), "Figures inscribed in convex sets", American Mathematical Monthly, 65 (2), ss. 76-80, doi:10.2307/2308878, JSTOR 2308878, MR 0097768.
33. How to drill square hexagon octagon pentagon holes, Wilmerding, Pennsylvania: Watts Brothers Tool Works, 1950–1951 (27 sayfa broşür).
34. Mochizuki, Takashi (22 Ocak 2015), "Panasonic Rolls Out Triangular Robot Vacuum", Wall Street Journal.
35. Coxworth, Ben (3 Mart 2015), "Panasonic enters the robo-vac game, with the triangular Rulo", Gizmag.
36. Gamber, Johnny (26 Nisan 2006), "Review of Staedtler Noris Ergosoft HB", Pencil Revolution, erişim tarihi: 22 Mayıs 2015.
37. Masferrer León, Claudia; von Wuthenau Mayer, Sebastián (Aralık 2005), "Reinventing the wheel: Non-circular wheels", The Mathematical Intelligencer, 27 (4), ss. 7-13, doi:10.1007/bf02985852
38. Anderson, Poul (Ekim 1963), "The Three-Cornered Wheel", Analog, ss. 50-69
39. Dempster, Tyra (17 Haziran 2009), Chinese man reinvents the wheel, Reuters
40. Moon, Francis C. (Temmuz 1999), The Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms at Cornell University (PDF), Cornell University Library, 14 Haziran 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
41. Henderson, David W.; Taimina, Daina (2007), "Experiencing meanings in geometry", Sinclair, Nathalie; Pimm, David; Higginson, William (Edl.), Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity, CMS Books in Mathematics, Springer, ss. 58-83, doi:10.1007/978-0-387-38145-9_4, hdl:1813/2714, ISBN 978-0-387-38145-9. Özellikle bkz. s. 81.
42. Moon (2007, s. 241).
43. Moon (2007, s. 240)
44. Peterson, Ivars (19 Ekim 1996), "Rolling with Reuleaux", MathTrek, ScienceNews. Peterson, Ivars (2002), Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles, MAA spectrum, Mathematical Association of America, ss. 141-144, ISBN 978-0-88385-537-9'de tekrar basılmıştır.
45. Lay (2007), s. 83.
46. Gruber (1983); Rotary engine geometry, 50 (2), March 1977, ss. 87-89, doi:10.1080/0025570x.1977.11976621; Nash, David H. (Mart 1977), "Rotary engine geometry", Mathematics Magazine, 50 (2), ss. 87-89, doi:10.1080/0025570x.1977.11976621; Badr, O.; Naik, S.; O'Callaghan, P. W.; Probert, S. D. (1991), "Rotary Wankel engines as expansion devices in steam Rankine-cycle engines", Applied Energy, 39 (1), ss. 59-76, doi:10.1016/0306-2619(91)90063-4.
47. Hart, Stephen (2010), Medieval Church Window Tracery in England, Boydell & Brewer Ltd, ss. 63-64, ISBN 978-1-84383-533-2.
48. Marchetti, Elena; Costa, Luisa Rossi (2014), "What geometries in Milan Cathedral?", Williams, Kim; Ostwald, Michael J. (Edl.), Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future, Volume I: Antiquity to the 1500s, Birkhäuser, ss. 509-534, doi:10.1007/978-3-319-00137-1_35
49. Parker, John Henry (1850), A glossary of terms used in Grecian, Roman, Italian, and Gothic architecture, 1 (5. bas.), Londra: David Rogue, s. 202.
50. Burchett, E. S. (1876), "Caption to Plate LV, Fig. 6", Practical plane geometry, Londra ve Glasgow: William Collins, Sons, and Co..
51. Durand, Guillaume (1906), The Symbolism of Churches and Church Ornaments: A Translation of the First Book of the Rationale Divinorum Officiorum (3. bas.), Gibbings, s. lxxxviii.
52. Frankl, Paul; Crossley, Paul (2000), Gothic Architecture, Pelican history of art, 19, Yale University Press, s. 146, ISBN 978-0-300-08799-4.
53. Conti, Giuseppe; Paoletti, Raffaella (October 2019), "Reuleaux triangle in architecture and applications", Magnaghi-Delfino, Paola; Mele, Giampiero; Norando, Tullia (Edl.), Faces of Geometry: From Agnesi to Mirzakhani, Lecture Notes in Networks and Systems, Springer, ss. 79-89, doi:10.1007/978-3-030-29796-1_7
54. Snyder, John P. (1997), Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, s. 40, ISBN 978-0-226-76747-5.
55. Keuning, Johannes (Ocak 1955), "The history of geographical map projections until 1600", Imago Mundi, 12 (1), ss. 1-24, doi:10.1080/03085695508592085, JSTOR 1150090.
56. Bower, David I. (Şubat 2012), "The unusual projection for one of John Dee's maps of 1580" (PDF), The Cartographic Journal, 49 (1), ss. 55-61, doi:10.1179/1743277411y.0000000015.
57. Hoover, Will (Kasım 1995), Picks!: The Colorful Saga of Vintage Celluloid Guitar Plectrums, Backbeat Books, ss. 32-33, ISBN 978-0-87930-377-8.
58. Martini, Horst; Montejano, Luis; Oliveros, Déborah (2019), Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications, Birkhäuser, s. 3, doi:10.1007/978-3-030-03868-7, ISBN 978-3-030-03866-3, MR 3930585
59. Keto, Eric (1997), "The shapes of cross-correlation interferometers", The Astrophysical Journal, 475 (2), ss. 843-852, Bibcode:1997ApJ...475..843K, doi:10.1086/303545.
60. Blundell, Raymond (2007), "The submillimeter array" (PDF), Proc. 2007 IEEE/MTT-S International Microwave Symposium, ss. 1857-1860, doi:10.1109/mwsym.2007.380132, ISBN 978-1-4244-0687-6.
61. Ho, Paul T. P.; Moran, James M.; Lo, Kwok Yung (2004), "The submillimeter array", The Astrophysical Journal, 616 (1), ss. L1-L6, arXiv:astro-ph/0406352 $2, Bibcode:2004ApJ...616L...1H, doi:10.1086/423245.
62. Gwillian, Sam (16 Mayıs 2015), Interesting Stuff: Curves of Constant Width, Newport City Radio, 16 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi
63. "Fina Logo History: from Petrofina to Fina", Total: Group Presentation, Total S.A., 26 Aralık 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 31 Ekim 2015.
64. "Global: Bavaria, Fundamental Rebranding Operation at Bavaria", Total Identity, Archived from the original on 30 Haziran 2015, erişim tarihi: 27 Haziran 2015
65. Fisher, Roland B. (Bahar 2002), "M-blems: Explaining the logo" (PDF), Mines: The Magazine of Colorado School of Mines, 92 (2), s. 29, Archived from the original on 10 Temmuz 2010
66. Lindley, Jeffrey A. (1 Haziran 2012), "Information: MUTCD — Interim Approval for the Optional Use of an Alternative Design for the U.S. Bicycle Route (M1-9) Sign (IA-15)", Manual on Uniform Traffic Control Devices for Streets and Highways: Resources, US Department of Transportation, Federal Highway Administration, erişim tarihi: 20 Ağustos 2018
67. Modes, Carl D.; Kamien, Randall D. (2013), "Spherical foams in flat space", Soft Matter, 9 (46), ss. 11078-11084, arXiv:0810.5724 $2, Bibcode:2013SMat....911078M, doi:10.1039/c3sm51585k.
68. Ng, C. H. B.; Fan, W. Y. (2014), "Reuleaux triangle disks: New shape on the block", Journal of the American Chemical Society, 136 (37), ss. 12840-12843, doi:10.1021/ja506625y, PMID 25072943.
69. Banchoff, Thomas; Giblin, Peter (1994), "On the geometry of piecewise circular curves", American Mathematical Monthly, 101 (5), ss. 403-416, doi:10.2307/2974900, JSTOR 2974900, MR 1272938.
70. Weber, Christof (2009), What does this solid have to do with a ball? (PDF) Weber also has films of both types of Meissner body rotating as well as interactive images.
71. Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Minimum problems for volumes of convex bodies", Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker, ss. 43-55.
72. Chandru, V.; Venkataraman, R. (1991), "Circular hulls and orbiforms of simple polygons", Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '91), Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ss. 433-440, ISBN 978-0-89791-376-8.
73. Peterson, Bruce B. (1973), "Intersection properties of curves of constant width", Illinois Journal of Mathematics, 17 (3), ss. 411-420, doi:10.1215/ijm/1256051608, MR 0320885.
74. Hernández Cifre, M. A. (2000), "Is there a planar convex set with given width, diameter, and inradius?", American Mathematical Monthly, 107 (10), ss. 893-900, doi:10.2307/2695582, JSTOR 2695582, MR 1806918.
75. Lindström, Bernt; Zetterström, Hans-Olov (1991), "Borromean circles are impossible", American Mathematical Monthly, 98 (4), ss. 340-341, doi:10.2307/2323803, JSTOR 2323803.
76. Eric W. Weisstein, Triquetra (MathWorld)
77. Hoy, Jessica; Millett, Kenneth C. (2014), "A mathematical analysis of knotting and linking in Leonardo da Vinci's cartelle of the Accademia Vinciana" (PDF), Journal of Mathematics and the Arts.
78. Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996), What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd, Oxford University Press, ss. 378-379, ISBN 978-0-19-975487-8.
79. Lockwood, E. H. (1961), "Chapter 8: The Deltoid", A Book of Curves, Cambridge University Press
80. Mackay, J. S. (February 1884), "The shoemaker's knife", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, cilt 3, s. 2, doi:10.1017/s0013091500037196.
81. Bruijns, J. (1998), "Quadratic Bezier triangles as drawing primitives", Proceedings of the ACM SIGGRAPH/EUROGRAPHICS Workshop on Graphics Hardware (HWWS '98), New York, NY, USA: ACM, ss. 15-24, doi:10.1145/285305.285307, ISBN 978-1-58113-097-3.
82. Wenninger, Magnus J. (2014), Spherical Models, Dover, s. 134, ISBN 978-0-486-14365-1.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Reuleaux Triangle (MathWorld)
• Reuleaux Triangle
• Paul Bourke, (Nisan 2009), Reuleaux Triangle
• AROUND THE WHEEL - REULEAUX TRIANGLE
• Reuleaux Polygons
• Reuleaux Triangle @Geogebra

İlave okumalar

• REULEAUX TRIANGLE AND THE DRILLING OF SQUARE HOLES
• Siders, William, & Mark Rue. "Reuleaux triangle somatocharts." Computers in biology and medicine 22.5 (1992): 363-368.
• Smart, James R. "Problem Solving in Geometry—a Sequence of Reuleaux Triangles." The Mathematics Teacher 79.1 (1986): 11-14.
• Ng, Choon Hwee Bernard, & Wai Yip Fan. "Reuleaux triangle disks: new shape on the block." Journal of the American Chemical Society 136.37 (2014): 12840-12843.
• Barrallo, Javier, Francisco González-Quintial, and Santiago Sánchez-Beitia. "An Introduction to the Vesica Piscis, the Reuleaux Triangle and Related Geometric Constructions in Modern Architecture." Nexus Network Journal 17.2 (2015): 671-684.
• Gleiftner, Winfried, & Herbert Zeitler. "The reuleaux triangle and its center of mass." Results in Mathematics 37.3-4 (2000): 335-344.
• Martini, Horst, & Zokhrab Mustafaev. "On Reuleaux triangles in Minkowski planes." Beiträge zur Algebra und Geometrie 48.1 (2007): 225-235.
• Hu, Xiao, Na Li, & BaiYu Liu. "Simulation and Application of Reuleaux Triangle In Geometric Measurement." IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. Vol. 310. No. 2. IOP Publishing, 2019.
• Conti, Giuseppe, & Raffaella Paoletti. "Reuleaux Triangle in Architecture and Applications." Faces of Geometry. From Agnesi to Mirzakhani. Springer, Cham, 2020. 79-89.

Ayrıca bakınız

• Barbier teoremi
• Blaschke–Lebesgue teoremi