Kuantum mekaniğinde simetri

Standart Modelin matematiksel formülasyonu(en) ve yoğun madde fiziğinin uygulamaları ile, kuantum mekaniği, göreli kuantum mekaniği(en) ve kuantum alan teorisinin içinde, uzay-zamanın ve parçacıkların bazı dönüşümleri altında Kuantum mekaniği simetrilerinin değişmez özellikleri açıklanmıştır. Genel olarak, fiziğin simetrileri, değişmezlik ve koruma yasaları simetri, fiziksel teorileri ve modellerinin formülesi için temelde önemli kısıtlamalar bulunmaktadır. Uygulamada, onlar sorunları çözme ve neler olabileceğini tahmin etmek için güçlü yöntemlerdir. Korunum yasaları her zaman doğrudan ve tek başına sorunun cevabını vermez,ancak bu formlar onların doğru kısıtlamaları ve sorunu çözmek için ilk adımları oluşturur.

Bu makalede sürekli simetriler yanı sıra kuantum operatörleri klasik biçimi arasındaki bağlantıyı özetliyor ve Lie gruplarıyla ve ilişkili dönüşümler ve Lorentz grubundaki göreli dönüşümler ve Poincaré grubuna ilişkindir.

Gösterim

Geleneksel gösterim aşağıdaki makalede izlenebilir: Boldface ayrımı vektörler, dört vektörler, matrisler ve kuantum durumlarında kullanılan vektörel operatörlerin bra–ket gösterimidir. Büyük harfler operatörler içindir, küçük harfler birim vektörler (tensör indis gösterimi içine yerleştirilen bileşenler) içindir. Aksi belirtilmedikçe tensör indisleri tekrarı olarak geleneksel toplamda kullanılan Minkowski metriği işareti (+−−−)dir.

Göreli olmayan kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu üzerinde simetri dönüşümleri

Süreki simetriler

Genellikle, sürekli simetriler arası ilişkiler ve korunum kanunları Noether teoremi ile verilir.

Temel kuantum operatörlerinin formları, örneğin enerji olarak bir kısmi zaman türevi ve momentum olarak bir uzay gradiyent,onun hafifçe değişen bir parametresi ise bir başlangıç durumu dikkate alındığında netleşiyor. Bu yer değiştirmeler (uzunluk), süreler (zaman), ve açılar (rotasyonlar) için yapılabilir. Ayrıca,bu miktarların korunumu göstermektedir ki belirli miktarlarının değişmezliği uzunlukları ve açıları bu tür değişiklikler yaparak görülebilir, .

Aşağıdaki biçimle tek tek parçacık dalga fonksiyonları üzerinde dönüşümler:

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')}$

olarak kabul edilir, burada ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ bir birim operatör olarak ifade edilir. Birimsellik genel uzay dönüşümlerini temsil eden operatörler için gereklidir, zaman ve spin, böylece bir durumun normu (Bazen spin ile bir yerde bir parçacığı bulma toplam olasılığını temsil) bu dönüşümler altında değişmez olmalıdır ve Hermityen eşleniğin tersidir.${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$. Sonuçlar, çoklu-parçacık dalga fonksiyonları için uzatılabilir.Dirac gösterimi içinde yazılanlar standard dönüşümler olarak kuantum durumu vektörleridir:

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle }$

Şimdi, ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$'nin hareketi değişikliği ψ(r, t) ya ψ(r′, t′) böylece ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$ tersi ψ(r′, t′) geriye ψ(r, t) değişir, böylece bir ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ operatörü değişmezlik altında ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ doyurucudur:

${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi }$

ve böylece:

${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$

herhangi ψ durumu içindir.gözlenebilirlerin Kuantum operatörleri gösterimi için ayrıca Hermityenler olarak gereklidir. böylece burada özdeğerler gerçek sayılardır, yani operatör Hermityen eşleniğine eşittir, ${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$.

Lie grup teorisine genel bakis

Kuantum teorisi ile ilgili grup teorisinin önemli noktaları örnek yazı boyunca verilir veya matris grupları kullanarak alternatif bir yaklaşım Hall'in kitaplarına bakılabilir[1][2]

Diyelimki G bir Lie grubu olsun bu bir parametreli gruptur ve gerçek sürekli olarak değişen parametrelerin N sonlu sayıları ile ξ₁, ξ₂, ... ξ_N.

• grubun boyutu, N, parametrelerinin sayısıdır.
• elementlerin grubu, g, G içinde parametrelerin fonksiyonudur:

${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )}$

ve tüm parametreler kümesi sıfıra dönen grubun eş ögeleri :

${\displaystyle I=G(0,0\cdots )}$

Grup elemanları genellikle hareketli vektör matrisler, ya da dönüşüm fonksiyonları üzerine etkilidir.

• Grubun üreteçleri grup ögelerinin kısmi türevleri sırasıyla grup parametreleri sonuç evrimi parametreler kümesi sıfırdir:

${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

Teorik fizik üreteçlerinin bir yönü de simetrilere karşılık gelen operatörler matrisler olarak yazılmış olarak kendilerini izah edebilir veya diferansiyel operatörler matrisleri gibi yazılabilir.Kuantum kuramında,grubun birimsel gösterimi için, inin bir faktörü üreteçler gereklidir:

${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

bir vektör uzayının grup formu üreteçleri,ayrıca bir üreteç formunun bir doğrusal kombinasyonlarının anlamı.

• Üreteçler (matrisler veya diferansiyel operatörler olsun) öteleme tatmin edicidir:

${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$

burada f_abc (taban bağımlı) grubun yapı sabitidir vektör uzayı özelliği bu hale getirir ve bir Lie cebri grubunun tüm üreteçlerinin kümeleridir.Braketin antisimetrisi nedeniyle, grubun yapı sabitleri ilk iki indisler olarak antisimetriktir.

• Grubun temsilleri bir büyük harf D ile ifade edilir ve bununla :

${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$ tanımlanır.

j dışında tekrarlanan indis ile ilgili toplamadır. Gösterimler doğrusal operatörlerdir ve bu grup ögelerinin içinde alınır ve kompozisyon kuralının korunumu:

${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$

Bir gösterim diğer gösterimlerin doğrudan toplamı içinde bozunmamış olmalıdır ve indirgenemez denir,braketlerin içinde n ile indirgenemez gösterimlerin etiketi gelenekseldir, D⁽ⁿ⁾ içinde olarak veya birden fazla numara varsa, biz D^{(n, m, ... )} olarak yazarız.

Gösterim de üreteçler ve büyük harf D nin aynı gösterimi bu bağlamda kullanıldığı için D(X) var: Bir D(X) üretecinin gösterimi içinde D bir grup ögesinin bir gösterimi içinde D aynı haritalama değildir.Yine de iki farklı haritalamayı belirtmek için aynı harfi kullanarak bu işaretler literatürde yanlış kullanılmaktadır. Bu yanlışın bir örneği yukarıdaki denklemde tanımlayici olarak bulunmaktadır.

Kaynakça

1. B.C. Hall (2003). Lie groups, Lie algebras, and representations. Springer.
2. B.C. Hall (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Springer.