Liénard-Wiechert potansiyelleri

Liénard-Wiechert potansiyelleri yüklü bir noktasal parçacığın hareketi esnasında oluşan klasik elektromanyetik etkiyi bir vektör potansiyeli ve bir skaler potansiyel cinsinden ifade eder. Maxwell denklemlerinin doğrudan bir sonucu olarak bu potansiyel relativistik olarak doğru, tam, zamana bağlı etkileri de içeren, noktasal parçacığın hareketine herhangi bir sınır konulmaksızın en genel durum için geçerli olan fakat kuantum mekaniğinin öngördüğü etkileri açıklayamayan elektromanyetik bir alan tanımlar. Dalga hareketi formunda yayılan elektromanyetik ışıma bu potansiyellerden elde edilebilir.

Bu potansiyelin ifadesi kısmî olarak 1898 yılında Alfred-Marie Liénard, bundan bağımsız olarak da 1900 yılında Emil Wiechert tarafından geliştirilmiştir. Potansiyelin genelleştirilmesi gauge teorisine göre yapılır.

Hareket eden çift kutup ve dörtlü kutupların oluşturduğu potansiyellerin açık ifadesi Lienard-Wiechert potansiyelinin noktasal yük ile olan ilişkisiyle aynı ilişki içinde olacak şekilde 1995 yılında Ribarič and Šušteršič tarafından hesaplanmıştır.

Sonuçları

Klasik elektrodinamik Einstein'ın relativite teorisinin gelişmesinde önemli bir rol oynar. Elektromanyetik dalgaların yayılış hareketinin analizi uzay-zamanın özel relativite tarafından açıklanan hâlinin keşfiyle sonuçlanmıştır. Lienard-Wiechert formülasyonunun relativistik hızlarda hareket eden parçacıkların karmaşık analizi açısından önemi büyüktür.

Lienard-Wiechert potansiyelinin çizdiği tablo büyük ölçeklerde doğru olmakla beraber kuantum seviyesindeki deneylerle örtüşmez. Kuantum mekaniği parçacıkların ışımasıyla ilgili kayda değer kısıtlamalar getirir. Lienard-Wiechert formülleriyle belirtilen klasik denklemler gözlemlerle desteklenmiş kuantum mekaniksel fenomenleri açıklayamaz. Örneğin, atomun çevresinde dönen bir elektron bu denklemlere göre ışıma yapması gerekir fakat yapmazlar (bkz. Rydberg formülü). Atomik seviyedeki bu olay enerji durumunun kuantize olmasıyla anlaşılır. 20. yy.ın ileriki onyıllarında kuantum elektrodinamiği kuantum mekaniksel kısıtlamalarla ışıma yapma özelliklerini birleştirmiştir.

Evrensel hız limiti

Elektromanyetik bilginin yayılma hızı olan c (bkz. ışık hızı) sabitinin sonlu olmasından dolayı, belirli bir r noktasında ve t zamanındaki bir parçacığa etki eden kuvvet, kuvvetin kaynağı olan parçacığın t zamanından daha önceki bir t_r zamanındaki konumuna bağlıdır. Örneğin, Dünya üzerindeki yüklü bir parçacık Ay'daki parçacığın 1,5 saniye önceki hâlini görür. Bu zaman farkı Güneş ile Dünya arasında yaklaşık 500 saniyedir. Bu önceki t_r zamanına geciktirilmiş zaman denir. Geciktirilmiş zaman pozisyona bağlıdır. Dünya üzerindeki bir parçacık için Ay'ın geciktirilmiş zamanı 1,5 saniye öncesi olurken Güneşinkinin 500 saniye öncesi olması bunu gösterir. Geciktirilmiş zaman, R parçacıkla kaynak arasındaki uzaklık olmak üzere matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir.

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\mathcal {R}}{c}},}$

Denklemler

Potansiyellerin matematiksel ifadesi

Gauss birimlerine göre A vektörel, ${\displaystyle \Phi }$ skaler potansiyel alanı belirtmek üzere aşağıdaki denklemler q yüküne sahip hareketli bir noktasal parçacığın Lienard-Wiechert potansiyellerini gösterir.

${\displaystyle \Phi ({\vec {x}},t)=\left({\frac {q}{(R-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {R}})}}\right)_{\rm {ret}}}$

and

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)=\left({\frac {q{\vec {\beta }}}{(R-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {R}})}}\right)_{\rm {ret}}}$

${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ (beta) parçacığın hızının c'ye bölünmüş hâli, ${\displaystyle {\vec {R}}}$ parçacığın pozisyon vektörü, 'ret' ifadesi geciktirilmiş çözümleri göz önünde bulundurduğumuzu belirtiyor.

Potansiyellere karşılık gelen elektrik ve manyetik alanlar

Lienard-Wiechert potansiyelleriyle elektrik ve manyetik alanlar doğrudan hesaplanabilir.

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$

Bu hesap birkaç adım gerektirir ve çoğu zaman oldukça karmaşıktır. Non-kovaryant formunda elektrik ve manyetik alan aşağıdaki gibi yazılabilir.

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}}$

${\displaystyle \gamma }$ Lorentz faktörü, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ yükün geciktirilmiş pozisyonundan gözlemciye doğru olan birim vektör,

Formüllerin elde edilişi

${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(t')}$ pozisyonunda ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(t')}$ hızında hareket eden bir parçacık için, yükleri çevreleyen hiçbir sınır olmadığında skaler ve vektörel potansiyellerin geciktirilmiş çözümüne (cgs birimlerinde) homojen olmayan elektromanyetik dalga denkleminden hareketle ulaşılır.

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}d^{3}r'dt'}$

Formüllerde

${\displaystyle {\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)}}$

Dirac delta fonksiyonu iken akım ve yük yoğunluklarının ifadesi sırasıyla aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=e\mathbf {v} _{0}(t')\delta \left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')\right)}$

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=e\delta \left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')\right)}$

Ayrıca bakınız

• Klasik elektromanyetizma
• Relativistik elektromanyetizma
• Özel relativite
• Rydberg formülü
• Jefimenko denklemleri
• Larmor formülü
• Abraham-Lorentz kuvveti