Jacobi matrisi

Vektör hesabında, Jacobi matrisi bir vektör-değerli fonksiyonun bütün birinci-derece kısmi türevlerini içeren matristir. Bu matris bir kare matris olduğunda, yani fonksiyonun girdi sayısı çıktı sayısının vektör bileşenleriyle aynı sayıdaysa, bu matrisin determinantı Jacobi determinantı olarak adlandırılır. Literatürde sıklıkla Jacobi olarak anılır.[1]

Her boyutu ℝⁿ uzayında birinci-derece türevlenebilir olan fonksiyon f : ℝⁿ → ℝ^m olsun. Bu fonksiyon bir x ∈ ℝⁿ noktası girdisi için bir f(x) ∈ ℝ^m vektörü üretsin. Bu f fonksiyonun Jacobi matrisi m×n boyutlu bir matris olarak tanımlanır, J ile gösterilir. Bu matrisin her (i,j)inci elemanı kısmi-türev ${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$'dir:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$

Literatürde Jacobi'nin yukarıdaki matrisin transpozu olarak tanımlandığı da olur.

Jacobi matrisi f'nin türevlenebilir olduğu her noktadaki türevini temsil eden matristir. f'in x'te türevlenebilir olma koşuluyla, h yer değiştirmeyi ifade eden bir sütun vektör olsun, bu durumda J(x) ⋅ h matris çarpımı f'nin x'in komşuluğundaki yer değiştirmesinin en iyi tahminini verir. Yani, y'yi f(x) + J(x) ⋅ (y – x)'ye dönüştüren fonksiyon x'e yakın noktalar için f'nin en iyi doğrusal dönüşümüdür. Bu doğrusal fonksiyon f'nin x vektöründeki türevi olarak da anılır.

Kaynakça

1. W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. 3 Kasım 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ocak 2020.