Doğrusal dönüşüm

Doğrusal dönüşüm, bir fonksiyon çeşididir. T, M boyutlu bir vektörden N boyuta bir doğrusal dönüşüm ise, o zaman;

${\displaystyle T(a)+T(b)=T(a+b)}$ ve herhangi bir sayı olan c için:

${\displaystyle T(c*a)=c.T(a)}$

Eğer bu koşullar T için doğruysa, o zaman T ,doğrusal bir dönüşümdür. Her doğrusal dönüşüm, ${\displaystyle t(x)=Ax}$ olarak ifade edilebilir. Burada A, bir matris'i temsil etmektedir. T bir dönüşüm matrisi olarak ifade edilebilir.

Tanımı ve ilk sonuçları

Diyelimki V ve W vektör uzayı aynı K alanı üzerinde olsun. Bir fonksiyonf: V → W idi.Herhangi iki vektör x ve y in V ve herhangi skaler α ve K bir lineer haritalama' ise, aşağıdaki iki koşul tatmin edici:

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\!}$	toplanabilirlik
${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha f(\mathbf {x} )\!}$	açı 1'in homojenitesi

Bu vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun için de aynı gereken eşdeğerdir,x₁, ..., x_m ∈ V ve skalerler a₁, ..., a_m ∈ K, aşağıdaki eşitlik tutar:

${\displaystyle f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}).\!}$

α = 0 açı 1'in homojenitesi için denklem 0_V ve 0_W sıralanarak Vektör uzaylarının sıfır unsurlar ifade edenV ve W, bunlar aşağıdadır. f(0_V) = 0_W sağlıyor,

${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\cdot \mathbf {0} _{V})=0\cdot f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$

Bazen,V ve W farklı alanlar üzerinde vektör uzayları olarak kabul edilebilir.bu temel alanların tanımında kullanılmakta "doğrusal" olduğunu daha sonra belirtmek gerekir.Biz K-lineer haritalaması hakkında konuşuyoruz,eğer V ve W alanın üzerine uzay olarak kabul edilenK yukarıdaki gibi ise,Örnek için,karmaşık sayıların eşlenik bir R-lineer haritalamadır C → C, amaC-lineer değildir.

lineer harita V den Kya (bir vektör uzayı kendi üzerinde K ile gösterilen ) bir doğrusal fonksiyonal olarak adlandırılır.

Bu tabloların genellemesi herhangi bir halka üzerindeR değişiklik olmadan sol-modül _RMdir .

matrislerin lineer dönüşümüne örnekler

R² iki-boyutlu uzay 2 × 2 gerçek matris. doğrusal haritalar açıklanmıştır.Burada bazı örnekler:

• 90 derece tarafından saat yönünün tersinerotasyon :

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

• θaçısı tarafından saat yönünün tersine rotasyon:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

• yansıma karşısı x ekseni:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

• yansıma karşısı yekseni:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

• ölçekleme by 2 in bütün yönler:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}}$

• yatay kayma haritalama:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$

• sıkı haritalama:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&1/k\end{pmatrix}}}$

• izdüşüm üzerine y ekseni:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Ayrıca bakınız

• Afin dönüşümler
• Lineer denklemler
• sınırlı operatör
• Antilineer harita
• Yarıdoğrusal dönüşüm
• Sürekli doğrusal operatör