Modül (matematik)

Soyut cebirde, bir halka üzerindeki modül kavramı, alandaki vektör uzayının genelleştirilmiş gösterimidir. Buradaki ilgili skalerler, bir keyfi halkanın ögeleridir (elemanlarıdır). Tamsayılar halkasındaki modüller de Abelian gruplarının genel gösterimidir.

Vektör uzayına benzer bir modül, toplam abelian grubudur. Halkanın ögeleri ile modülün ögeleri arasında tanımlanan çarpım, hem parametreler hem de uygun halka çarpımında dağılımsaldır.

Tanım

Biçimsel tanım

R, bir halka ve 1_R, çarpım birimi olsun. Bir M sol R-modülü, (M, +) abelian grubundan oluşur ve R × M → M işlemi, R deki tüm r, s ve M deki tüm x, y için, aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

1. ${\displaystyle r(x+y)=rx+ry}$
2. ${\displaystyle (r+s)x=rx+sx}$
3. ${\displaystyle (rs)x=r(sx)}$
4. ${\displaystyle 1_{R}x=x}$.

Mdeki halkanın işlemine skaler çarpma denir ve çoğunlukla yan yana yazılır. Örneğin Rdeki r ile Mdeki x için rx biçiminde. _RM notasyonu (gösterimi), bir sol R-modül Myi ifade eder. Bir sağ R-modül M veya M_R de benzer ifade edilir. Yalnızca burada halka sağa doğrudur. Örneğin, skaler çarpma, M × R → M formunu alır ve yukarıdaki aksiyomlar x ve ynin sağındaki r ve s skalerleri ile yazılır.