Bernoulli dağılımı

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve ${\displaystyle q=1-p}$ olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim adamı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Bernoulli

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle 0\leq p\leq 1\,}$ (reel)
Destek	${\displaystyle k=\{0,1\}}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\begin{matrix}q&k=0{\text{ için}}\\p&k=1{\text{ için}}\end{matrix}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
Ortalama	${\displaystyle p}$
Medyan	yok
Mod	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
Varyans	${\displaystyle pq}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
Entropi	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle q+pe^{t}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle q+pe^{it}}$

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

${\displaystyle \Pr(X=1)=1-\Pr(X=0)=1-q=p.\!}$

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

${\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{eger }}k=1,\\1-p&{\mbox{ eger }}k=0,\\0&{\mbox{diger hallerde.}}\end{matrix}}\right.}$

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

${\displaystyle E\left(X\right)=p}$,

ve varyans

${\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}$

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat ${\displaystyle p=1/2}$ için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.

İlişkili dağılımlar

• Eger ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

${\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {B} (n,p)}$

yani bir binom dağılımdir.

• Kategorik dağılım herhangi bir sabit sayıda aralıklı değerler alan değiskenler ile Bernoulli dağılımının bir genelleştirilmesidir.
• Beta dağılımının eşlenik önseli Bernoulli dağılımıdır.

İçsel kaynaklar

• Bernoulli denemesi
• Bernoulli süreci
• Bernoulli örneklemesi
• Örneklem büyüklüğü