Skellam dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Skellam dağılımı bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerleri ${\displaystyle \mu _{1}}$ ve ${\displaystyle \mu _{2}}$ olan Poisson dağılımı gösteren rassal değişken ${\displaystyle K_{1}}$ ve ${\displaystyle K_{2}}$ arasında bulunan fark olan ${\displaystyle K_{1}-K_{2}}$nin gösterdiği olasılık dağılımdır.

Skellam

Olasılık kütle fonksiyonu Skellam dağılımının olasılık kütle fonksiyonu için örnekler. Yatay eksen k endeksidir. Noktaları bağlayan doğru parçaları görüş kolaylığı içindir, süreklilik ifade etmez.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0}$
Destek	${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,}$
Medyan	N/A
Mod
Varyans	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle 1/(\mu _{1}+\mu _{2})\,}$
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}$

Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol, buz hokeyi ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan yayılmış bahis (spread betting) yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit foton gürültüsünü (photon noise) açıklamak için kullanılmıştır.

Karaketeristikler

Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılması ile ortaya çıkan sonuçlar için bakın [1] [2].

Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:

${\displaystyle f(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }\,}$

Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946) [3]

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!f(k\!+\!n;\mu _{1})f(n;\mu _{2})}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

Burada I _k(z) birinci şekilde değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktoriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$ için bakin [4]

${\displaystyle f\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{k}(2\mu )}$

Eğer değerler küçükse, Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını ${\displaystyle \mu _{2}=0}$ için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.

Özellikler

Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$

Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$

Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık üreten fonksiyon ortaya çıkartılır:

${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}}$

${\displaystyle =G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\,}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.}$

Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.

Bazı referanslara gore iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bileşiği de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.

Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:

${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$

Bunlardan ham moment değerleri m_k  bulmak için şu tanımlara bakılsın:

${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,}$

Bunlardan 3 ham moment m_k değerleri şöyle çıkartılır:

${\displaystyle m_{1}=\left.\Delta \right.\,}$

${\displaystyle m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}$

${\displaystyle m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}$

Merkezsel momentler M _k şunlardır:

${\displaystyle M_{2}=\left.2\mu \right.,\,}$

${\displaystyle M_{3}=\left.\Delta \right.,\,}$

${\displaystyle M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,}$

Beklenen değer, varyans, çarpıklık katsayısı and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::

${\displaystyle \left.\right.E(n)=\Delta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\left.2\mu \right.\,}$

${\displaystyle \gamma _{1}=\left.\Delta /(2\mu )^{3/2}\right.\,}$

${\displaystyle \gamma _{2}=\left.1/2\mu \right..\,}$

Kümülant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}}$

ve bundan kümülant değerleri elde edilir:

${\displaystyle \kappa _{2k}=\left.2\mu \right.}$

${\displaystyle \kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..}$

Özel hal olan μ₁ = μ₂ için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadır.[5].

Kaynakça

Kaynakça

1. Karlis, D. ve Ntzoufras, I. (2003). "Analysis of sports data using bivariate Poisson models." Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician) 52 (3): 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
2. [Karlis D. ve Ntzoufras I. (2006). "Bayesian analysis of the differences of count data" Statistics in Medicine C.25, say.1885-1905. 12 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
3. Skellam, J. G. 1946. The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. Journal of the Royal Statistical Society: Series A C.109 No.3 say.296.
4. [Irwin, J. O. (1937). "The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution." Journal of the Royal Statistical Society: Series A C.100 No.3 say. 415–416.
5. Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 1972. Modified Bessel functions I and K. Sections 9.6–9.7 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, pp. 374–378. New York: Dover. p. 377 ]