Gumbel dağılımı

Olasılık teorisi ve istatistikte, Gumbel dağılımı çeşitli dağıtımlar örnekleri bir dizi maksimum (veya minimum) dağılımını modellemek için kullanılır.

Gumbel

Olasılık density fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle \mu \!}$ location (real) ${\displaystyle \beta >0\!}$ scale (real)
Destek	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )\!}
Şablon:Olasılık fonksiyonu/link density	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}\!}$ where ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\beta }}\!}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}\!}$
Ortalama	${\displaystyle \mu +\beta \,\gamma \!}$
Medyan	${\displaystyle \mu -\beta \,\ln(\ln(2))\!}$
Mod	${\displaystyle \mu \!}$
Varyans	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}\!}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14\!}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$
Entropi	{{{entropi}}}
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle \Gamma (1-\beta \,t)\,e^{\mu \,t}\!}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle \Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,\mu \,t}\!}$

Son on yıl için maksimum değerler bir liste varsa böyle bir dağıtım belirli bir yıl içinde bir nehirlerin maksimum düzeyde dağılımını göstermek için kullanılan olabilir. Bu aşırı bir deprem, sel veya diğer doğal afet meydana gelme şansını tahmin etmede yararlıdır. Maksima dağılımını temsil etmek için Gumbel dağılımının olası uygulanabilirliği temel örnek veri dağılımı, normal veya üstel tipte ise yararlı olma olasılığı olduğunu gösterir uç değer teorisi değere ile ilgilidir.

Gumbel dağılımı (aynı zamanda Fisher- Tippett dağılım olarak da bilinir) yaygın bir uç değer dağılımı özel bir durumdur. Ayrıca log-Weibull dağılımı ve çift üstel dağılımı (seçenek olarak bazen Laplace dağılımını ifade etmek için kullanılan bir terim) olarak da bilinir. Yoğunluğu ilk kökenine yansımakta ve daha sonra pozitif yarım hat ile sınırlı olduğunda, Gompertz fonksiyonu elde edilir. Bu, Gompertz dağılımı ile ilgilidir.

Ayrık seçim teorisinde ortakterimli logit modelinin gizli değişken formülasyonunda,gizli değişkenlerin hataları bir Gumbel dağılımı izleyin. İki Gumbel dağıtılmış rastgele değişkenlerin farkı bir lojistik dağılımı vardır çünkü yararlıdır.

Gumbel dağılımı dağılımını açıklayan onun orijinal kâğıtlarına dayalı, Emil Julius Gumbel (1891–1966) almıştır.[1][2]

Özellikler

Gumbel dağılımının birikimli dağılım fonksiyonudur

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,}$

mode μ'dür , ileki ortalama ${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$ dır ve ortalama ile verilir

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta ,}$

burada ${\displaystyle \gamma }$ = Euler–Mascheroni sabiti ${\displaystyle \approx 0.5772.}$ standard sapma ${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}.}$ dır

Standard Gumbel dağılımı

Standard Gumbel dağılımı durumu ${\displaystyle \mu =0}$ ve ${\displaystyle \beta =1}$ ile birikmeli dağılım fonksiyonu

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

Bu durumun modu 0 dır,medyan ${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$ dır ortalama ${\displaystyle \gamma }$dır ve standard sapma ${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$dır

Kuantile fonksiyon ve Gumbel değişkenleri üretimi

Since the kuantile fonksiyon(ters birikimli dağılım fonksiyonu), ${\displaystyle Q(p)}$, of bir Gumbel dağılımı ile veriliyor

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

değişken ${\displaystyle Q(U)}$ has bir Gumbel dağılımı ile ${\displaystyle \mu }$ parametreleri var ve ${\displaystyle \beta }$ ise random değişken ${\displaystyle U}$ aralığı ${\displaystyle (0,1)}$ üzerine tektip dağılımdan çekilmiştir.

İlişik dağılımlar

Gumbel dağılımını grafik kâğıt parçası içermektedir.

Eğer X has bir Gumbel dağılımı, ise Y=-Xnin durumsal dağılımı verilen bu Y için pozitiftir, veya verilen bu eşdeğeri X negatiftir,bir Gompertz dağılımı var.Y nin cdf G Fye ilişiktir, Xın cdf'i, y>0 için ${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ ile formüleedir.Sonuç olarak yoğunlukları ${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: Gompertz yoğunluğu ile ilişkilidir.Gumbel yoğunluğu bir yansımaya orantılıdır,pozitif yarı-eksenle sınırlıdır.[3]

geneleştirilmiş çokdeğişkenli log-gamma dağılımına ilişik teori Gumbel dağılımının birçok değişkenli versiyonunu sağlar.

Grafik kağıdı

Ön yazılım zamanlarında grafik kâğıt Gumbel dağılımının resmi kullanılmıştır (resme bakınız). Kağıt kümülatif dağılım fonksiyonunu doğrusallaştırmaya dayanır ${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]=(x-\mu )/\beta }$

Kağıt yatay eksende bir ikikez log ölçekte inşa edilmiştir.Dikey eksen doğrusaldır.Kağıdın yatay ekseni üzerinde ${\displaystyle F}$ çizilerek ve ${\displaystyle x}$-değişken dik eksen üzerinde,dağılım is bir eğim ile, düz bir çizgi tarafından temsil edilen 1${\displaystyle /\beta }$.dağılım uyarlama yazılımı CumFreq gibi kullanılmaya başladığında,aşağıdaki bölümde gösterildiği gibi dağılım çizme görevi, kolay yapılmıştır.

Uygulama

maksimum tek-günlük ekim yağışlarına uyarlanan dağılım ile bir birikimli Gumbel dağılımının güven bandı.

Gumbel gösterdiki (veya son istatistik listesi) bir random değişkenin bir örneği içinde maksimum değer aşağıda bir üstel dağılım Gumbel dağılımının yaklaşıklığı artan örneklem büyüklüğü ile yakındır.[4]

Su biliminde, bu nedenle, Gumbel dağılımı günlük yağış ve nehir boşaltma hacimlerinin aylık ve yıllık maksimum değerleri gibi değişkenleri analiz etmek ve ayrıca [5] kuraklık tanımlamak için kullanlılır.[6]

Gumbel ayrıca gösterdiki bu tahminci r / (n+1) bir olayın olasılığı için - burada r veri serisi içinde gözlenen değerin rank numarası ve n gözlemcinin toplam sayısıdır- dağılımın modu çevresinde birikimli olasılık bir yansız tahminidir. Bunun için tahminci,bir çizim pozisyonu olarak sıklıkla kullanılıyor

Sıralanmış maksimum bir günlük ekim yağışlarına Mavi resimde gösterilen Gumbel dağılımının bir uyarlama örneği ayrıca binomial dağılım üzerinde 90% güven bandına dayanıyor. Birikimli frekans analizinin.bir parçası olarak çizim pozisyonu r / (n+1) tarafından gözlemlenen düşen yağış verisidir

sayı teorisinde,bir bir tamsayının kısımları içindeki terimlerin yaklaşık Gumbel dağılımı[7]asal takımyıldızları arasındaki kayıtlı boşluklar ve kayıtlı asal boşlukların hem de eğilimin düzeltilmiş boyutlarıdır .[8]

Ayrıca bakınız

• Tip-1 Gumbel dağılımı
• Tip-2 Gumbel dağılımı
• Uç değer teorisi
• Geneleştirilmiş uç değer dağılımı
• Fisher–Tippett–Gnedenko teoremi

Dış bağlantılar

• Wikimedia Commons'ta Gumbel dağılımı ile ilgili çoklu ortam kategorisi bulunur.

Kaynakça

1. Gumbel, E.J. (1935), "Les valeurs extrêmes des distributions statistiques" (PDF), Ann. Inst. Henri Poincaré, 5 (2), ss. 115-158, 10 Mart 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 20 Şubat 2014
2. Gumbel E.J. (1941). The return period of flood flows. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 163–190
3. Willemse, W.J.; Kaas, R. (2007). "Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz' law of mortality". Insurance: Mathematics and Economics. 40 (3). s. 468. doi:10.1016/j.insmatheco.2006.07.003.
4. Gumbel, E. J. (1954). Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied Mathematics Series. 33 (1st bas.). U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards. ASIN B0007DSHG4. 1 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Şubat 2014.
5. Oosterbaan, R. J. (1994). "Chapter 6 Frequency and Regression Analysis". Ritzema, H. P. (Ed.). Drainage Principles and Applications, Publication 16 (PDF). Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). ss. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 27 Temmuz 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 20 Şubat 2014.
6. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). "An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future". Journal of Hydrology. Cilt 388. s. 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.
7. Erdös, Paul; Lehner, Joseph (1941). "The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer". Duke Mathematical Journal. 8 (2). s. 335. doi:10.1215/S0012-7094-41-00826-8.
8. Kourbatov, A. (2013). "Maximal gaps between prime k-tuples: a statistical approach". Journal of Integer Sequences. Cilt 16. arXiv:1301.2242 $2. Article 13.5.2.