Multinom dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Multinom

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle n>0}$ denemeler sayısı (tam sayı) ${\displaystyle p_{1},\ldots p_{k}}$ olay olasılıkları(${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
Destek	${\displaystyle X_{i}\in \{0,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}=n\!}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}$
Medyan
Mod
Varyans	${\displaystyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$ (${\displaystyle i\neq j}$)
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}}$
Karakteristik fonksiyon

Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde her bir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani

p₁, ..., p_k

bulunmaktadır; bunlar için

p_i ≥ 0 eğer i = 1, ..., k

ve ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$ n sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan ${\displaystyle X_{i}}$ n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder. ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör p=(p₁, ..., p_k) olarak da yazılabilir.

Tanımlama

Olasılık kütle fonksiyonu

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ ve }}\dots {\mbox{ ve }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{eğer }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{diğer hallerde,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

burada x₁, ..., x_k negatif olmayan tam sayılardır.

Özellikleri

Beklenen değer şudur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.}$

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

${\displaystyle \operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).}$

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$

Burada i, j birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi k - 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.

Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.}$

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve p_i parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek

${\displaystyle \{(n_{1},\dots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}|n_{1}+\cdots +n_{k}=n\}.}$

değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}=\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle ,}$

olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.

İlişkili dağılımlar

• Eğer k = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
• Dirichlet dağılımı Bayes tipi istatistikte multinom dağılımının eşlenik önselidir.
• Çokdeğişirli Polya dağılımı

Ayrıca bakınız

• Multinom teoremi

Kaynakça

Dış bağlantılar

• Ayrık olasılık dagılımı - Multinom Dağılımı

Bibliyografya

• Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) Statistical Distribution 3ncu ed. Wiley: New York say.134-13 isbn = 0-471-37124-6