Açıortay teoremi

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Şekilde BD:DC = AB:AC'dir.

Teorem

Bir ABC üçgeni düşünün. A açısının açıortayının B ile C arasındaki D noktasında BC kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, BD doğru parçasının uzunluğunun DC parçasının uzunluğuna oranının AB kenarının uzunluğunun AC kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

ve tersine, ABC üçgeninin BC kenarındaki D noktası BC yi AB ve AC kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra AD, ∠ A açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer D, BC doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

AD, ∠ BAC nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. D, BC bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

İspatlar

İspat 1

Yukarıdaki diyagramda, ABD ve ACD üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

   

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}$

(1)

   

   

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$

(2)

   

∠ BDA ve ∠ ADC açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

${\displaystyle {\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.}$

∠ BAD ve ∠ DAC açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

bu da açıortay teoremi'dir.

∠ BAD ve ∠ DAC açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.}$

∠ BDA ve ∠ ADC açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},}$

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

İspat 2

D, BC doğrusunda bir nokta olsun, B veya C ye eşit olmasın ve AD, ABC üçgeninin bir yüksekliği olmasın.

B₁, ABD ile B üçgenindeki yüksekliğin tabanı olsun ve C₁ ACD ile C üçgenindeki yüksekliğin tabanı olsun. Daha sonra, D kesinlikle B ile C arasındaysa, B₁ veya C₁'den biri ve yalnızca biri, ABC üçgeninin içinde yer alır ve B₁'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. D, BC segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne B₁ ne de C₁ üçgenin içinde yer alır.

∠ DB₁B ve ∠ DC₁C dik açılar iken, D, BC segmentinde yer alıyorsa (yani, B ve C arasında) ∠ B₁DB ve ∠ C₁DC açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler DB₁B ve DC₁C benzerdir (AAA), yani

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

D bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ ve }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}$

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

İspat 3

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}$

Hızlı bir kanıt, ${\displaystyle A}$'daki açıortay ile oluşturulan ${\displaystyle \triangle BAD}$ ve ${\displaystyle \triangle CAD}$ üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani ${\displaystyle g}$ taban ve ${\displaystyle h}$ yükseklik olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ şeklinde ve ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı ${\displaystyle \gamma }$ olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$ şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

${\displaystyle h}$, tabanı ${\displaystyle BC}$ olan üçgenlerin yüksekliği ve ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$'daki açının yarısı olsun. Sonra,

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}$

ve

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

buradan da

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

bulunur.

Dış açıortaylar

Dış açı ortaylar (kırmızı nokta ile gösterilen):
D, E, F noktaları eşdoğrusaldır ve oranlar için aşağıdaki denklemler geçerlidir:
${\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}}$

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, ${\displaystyle A}$'daki dış açıortay ${\displaystyle E}$'de uzatılmış kenar ${\displaystyle BC}$ ile kesişiyorsa, ${\displaystyle B}$'deki dış açıortay ${\displaystyle D}$'de uzatılmış kenar ${\displaystyle AC}$ ile kesişir ve ${\displaystyle C}$'deki dış açı açıortay ${\displaystyle AB}$ uzatılmış kenar ile ${\displaystyle F}$'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur[1]:

${\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}$

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ ve ${\displaystyle F}$ arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir[2].

Tarihçe

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler[3]:

“	Bir üçgenin bir açısı, karşı kenarı veya zıt kenarı kesen düz bir çizgi ile içten veya dıştan ikiye bölünürse, o tarafın dilimleri üçgenin diğer kenarları ile aynı orana sahip olacaktır ve eğer bir üçgenin bir kenarı, parçalarının üçgenin diğer kenarlarıyla aynı orana sahip olması için içten veya dıştan bölünüyorsa, kesit noktasından ilk bahsedilen kenarın karşısındaki açısal noktaya çizilen düz çizgi bu açısal noktada iç veya dış açıyı ikiye böler.	„

Notlar

1. Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, 9781930190856, pp. 3-4
2. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, 978-0-486-46237-0, p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
3. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications.

   (3 cilt): 0-486-60088-2 (cilt 1), 0-486-60089-0 (cilt 2), 0-486-60090-4 (cilt 3). Heath'in yetkili çevirisi ile birlikte kapsamlı tarihsel araştırma ve metin boyunca ayrıntılı yorumlar içerir.

İlave okumalar

• G.W.I.S Amarasinghe: On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01(01), ss. 15 – 27, 2012

Dış bağlantılar

• A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
• Intro to angle bisector theorem at Khan Academy