Hipokrat ayı

Geometride adını Sakız Adalı Hipokrat'tan sonra alan Hipokrat ayı, iki çemberden oluşan yaylarla sınırlanmış bir aydır, daha küçük olanın çapı, daha büyük çember üzerinde dik bir açıyı kapsayan bir kirişe sahiptir.[1]

Hipokrat ayı, sol üstteki gölgeli alandır ve sağ alttaki gölgeli üçgenle aynı alana sahiptir.

Tarihçe

Hipokrat, klasik Daireyi kareyle çevreleme problemini, yani belirli cetvel ve pergel vasıtasıyla bir daire ile aynı alana sahip olan bir kare çizme problemini çözmek istedi.[2][3] Hipokrat'ın bu sonucun ortaya çıktığı geometri üzerine kitabı olan Elemanlar adlı eseri kayboldu, ancak Öklid'in Elemanlar adlı eseri için bu eser bir model oluşturmuş olabilir.[3]

Hipokrat'ın kanıtı, Rodoslu Eudemus tarafından derlenen, ancak günümüze ulaşmayan Geometri Tarihi (History of Geometry) adlı eserin, Kilikyalı Simplicius tarafından Aristotle'nin Fizik adlı eseri hakkındaki yorumundaki alıntılar aracılığıyla korunmuştur.[2][4]

1882'ye kadar, Ferdinand von Lindemann'ın π'nin aşkınlığının kanıtıyla, Daireyi kareyle çevreleme probleminin çözümünün imkansız olduğu bilinmiyordu.[5]

Hipokrat ayı, eğri çizgilerle sınırlanmış bir alanın kesin ölçümü ile ilgili ilk örnektir.[6]

İspat

Hipokrat'ın sonucu şu şekilde ispatlanabilir: ${\displaystyle AEB}$ yayının bulunduğu dairenin merkezi, ${\displaystyle \triangle ABO}$ ikizkenar dik üçgeninin hipotenüsünün orta noktası olan ${\displaystyle D}$ noktasıdır. Bu nedenle, daha büyük ${\displaystyle ABC}$ dairesinin ${\displaystyle AC}$ çapı, ${\displaystyle AEB}$ yayının üzerinde bulunduğu daha küçük dairenin çapının √2 katıdır. Sonuç olarak, daha küçük daire, büyük dairenin yarı alanına sahiptir ve bu nedenle, çeyrek daire ${\displaystyle AFBOA}$, yarım daire ${\displaystyle AEBDA}$'ya eşittir. Hilal şeklindeki ${\displaystyle AFBDA}$ alanını çeyrek daireden çıkarmak, ${\displaystyle \triangle ABO}$ üçgenini verir ve aynı hilali yarım daireden çıkarmak Hipokrat ayının alanını verir. Üçgen ve Hipokrat ayı, eşit alandan eşit alanlar çıkarılarak oluşturulduğundan, alan olarak da eşittir.[2][7]

Hipokrat ayının çizilmesi

Adım adım Hipokrat ayının çizilmesi.

1. Bir ${\displaystyle \triangle AOB}$ ikizkenar dik üçgeni çizin.
2. Merkez ${\displaystyle O}$ olmak üzere ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ noktaları arasına bir yay çizin.
3. ${\displaystyle \triangle AOB}$ üçgeninin hipotenüsünün orta noktası olan ${\displaystyle M}$ noktası merkez olacak şekilde, ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ noktaları arasına başka bir yay çizin.

Dışarıda kalan yeşil şekil, Hipokrat ayıdır.

Ayın alanı = Yarım dairenin alanı - Dairesel dilimin alanı

Ayın alanı = Yarım dairenin alanı - (sektörün alanı - üçgenin alanı)

Ayın alanı = πr²2 - πr²180°360° + üçgenin alanı

Ayın alanı = Üçgenin alanı

Genelleştirme

İbn-i Heysem (Alhazen) ayları. İki mavi ay birlikte yeşil dik üçgenle aynı alana sahiptir.

Yukarıdakine benzer bir kanıtı kullanarak, Arap matematikçi Hasan İbn-i Heysem (Avrupa'da Alhazen olarak bilinir, yaklaşık 965 - 1040), dış sınırları bir dik üçgenin iki kenarındaki yarım daire olan ve iç sınırları üçgenin çevresi tarafından oluşturulan, bu iki ayın birbirine eklenen alanları üçgenin alanına eşit olan iki ay olduğunu gösterdi. Dik üçgenden bu şekilde oluşan aylar, İbn-i Heysem (Alhazen) ayları olarak bilinir.[8][9] Hipokrat ayının tümlevi, ikizkenar dik üçgen için bu sonucun özel halidir.[10]

20. yüzyılın ortalarında, iki Rus matematikçi, Nikolai Chebotaryov ve öğrencisi Anatoly Dorodnov, pergel ve cetvel ile çizilebilen ve belirli bir kareye eşit alana sahip olan ayları tamamen sınıflandırdılar. Tüm bu tür aylar, kendi daireleri üzerindeki iç ve dış yayların oluşturduğu iki açı ile belirlenebilir. Bu gösterimde, örneğin, Hipokrat'ın ayı, (90°, 180°) iç ve dış açılara sahip olacaktır. Hipokrat, yaklaşık olarak (107.2°, 160.9°) ve (68.5°, 205.6°) açıları olan iki tane daha kare şeklinde içbükey ay buldu. Yaklaşık (46.9°, 234.4°) ve (100.8°, 168.0°) açıları olan iki kare daha içbükey ay, 1766'da Martin Johan Wallenius ve yine 1840'da Thomas Clausen tarafından bulundu. Chebotaryov ve Dorodnov'un gösterdiği gibi, bu beş çift açı, tek çizilebilir kare şeklinde ayları verir; özellikle çizilebilir kare biçimli dışbükey ay yoktur.[1][9]

Kaynakça

1. Postnikov, M. M. (2000), "The problem of squarable lunes", American Mathematical Monthly, 107 (7), ss. 645-651, doi:10.2307/2589121, JSTOR 2589121. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on Galois theory.
2. Heath, Thomas L. (2003), A Manual of Greek Mathematics, Courier Dover Publications, ss. 121-132, ISBN 0-486-43231-9, 30 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 18 Eylül 2020.
3. "Hippocrates of Chios", Encyclopædia Britannica, 2012, erişim tarihi: 12 Ocak 2012.
4. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hippocrates of Chios", MacTutor History of Mathematics arşivi
5. Jacobs, Konrad (1992), "2.1 Squaring the Circle", Invitation to Mathematics, Princeton University Press, ss. 11-13, ISBN 978-0-691-02528-5.
6. "Arşivlenmiş kopya". 20 Nisan 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Eylül 2020.
7. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1988), "4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes", The Historical Roots of Elementary Mathematics, Courier Dover Publications, ss. 90-91, ISBN 0-486-25563-8, 6 Eylül 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 18 Eylül 2020.
8. Hippocrates' Squaring of the Lune 20 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at cut-the-knot, accessed 2012-01-12.
9. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), "9.1 Squarable lunes", Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics, Dolciani mathematical expositions, 42, Mathematical Association of America, ss. 137-144, ISBN 978-0-88385-348-1, 23 Eylül 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 18 Eylül 2020.
10. Anglin, W. S. (1994), "Hippocrates and the Lunes", Mathematics, a Concise History and Philosophy, Springer, ss. 51-53, ISBN 0-387-94280-7, 26 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 18 Eylül 2020.