Apollonius teoremi

Geometri'de, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.

yeşil / mavi alanlar = kırmızı alan

Özel bir durum olarak Pisagor teoremi: yeşil alan = kırmızı alan

"Herhangi bir üçgenin herhangi iki kenarının karelerinin toplamının, üçüncü kenarı ikiye bölen kenarortayın karesi ile üçüncü kenarın yarısının karesinin toplamının iki katına eşit olduğunu" belirtir.

Özellikle, herhangi bir ABC üçgeninde, AD bir kenarortay ise,

${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2}).}$

Bu, Stewart teoreminin özel bir durumudur. |AB| = |AC| olan bir ikizkenar üçgen için, kenarortay AD, BC'ye diktir ve teorem, ADB (veya ADC) üçgeni için Pisagor teoremi'ne indirgenir . Bir paralelkenar'ın köşegenlerinin birbirini ikiye böldüğü gerçeğinden, teorem paralelkenar yasasına eşdeğerdir.

Teorem adını, antik Yunan matematikçi Pergeli Apollonius'dan almıştır.

İspat

Apollonius teoreminin ispatı

Teorem, Stewart'ın teoreminin özel bir durumu olarak veya vektörler kullanılarak kanıtlanabilir (bkz. Paralelkenar yasası). Aşağıdaki ise kosinüs yasasını kullanan bağımsız bir kanıttır.[1]

Üçgenin kenarları a, b, c ve kenarortay d, a kenarına çekilmiş olsun. Kenarortayın oluşturduğu a segmentlerinin uzunluğu m olsun, böylece m a'nin yarısı olur. a ve d arasında oluşan açılar θ ve θ′ olsun, burada θ b ve θ′ , c'yi içerir. O zaman θ′ , θ ve cos θ′ = −cos θ ifadesinin tamamlayıcısıdır. θ ve θ′ için kosinüs teoremi şunu belirtir:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

gereken sonucu elde etmek için birinci ve üçüncü denklemler eklenir ve;

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$

bulunur.

Notlar

1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. s. 20.

Kaynakça

• Douglas, A. J. (1981). A generalization of Apollonius' theorem. The Mathematical Gazette, 65(431), ss. 19-22.
• Pedoe, D. (1967). On a theorem in geometry. The American Mathematical Monthly, 74(6), ss. 627-640.
• Bulwahn, L. (2020). Stewart’s Theorem and Apollonius’ Theorem. Belge

Dış bağlantılar

• PlanetMath'te Apollonius teoremi
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. s. 27