Dış açı teoremi

Dış açı teoremi, bir üçgenin bir dış açısının ölçüsünün, uzak iç açılarının ölçülerinden daha büyük olduğunu belirten Ökllid'in Elemanlar'ı Önerme 1.16'dır. Bu, mutlak geometride temel bir sonuçtur çünkü ispatı paralellik postülatına bağlı değildir.

Birkaç lise geometri incelemesinde, "dış açı teoremi" terimi farklı bir sonuca[1], yani Önerme 1.32'nin bir üçgenin dış açısının ölçüsünün uzak iç açıların ölçüleri toplamına eşit olduğunu belirten bölüme uygulanmıştır. Öklid'in paralelilk postülatına bağlı olan bu sonuç, onu Öklid dış açı teoreminden ayırmak için "Lise dış açı teoremi" (LDAT-HSEAT: High school exterior angle theorem) olarak anılacaktır.

Bazı yazarlar, dış açı teoreminin güçlü biçimi olarak "Lise dış açı teoremi" ve zayıf biçimi olarak "Öklid dış açı teoremi" olarak adlandırırlar.[2]

Dış açılar

Bir üçgenin tepe noktası (verteks) adı verilen üç köşesi bulunur. Bir tepe noktasında bir araya gelen üçgenin iki kenarı (çizgi parçaları) iki açı oluşturur (üçgenin kenarlarının çizgi parçaları yerine doğrular olduğunu düşünürsek dört açı oluşturur).[3] Bu açılardan sadece bir tanesi iç kısmında üçgenin üçüncü kenarı tarafında kalır ve bu açıya üçgenin iç açısı denir.[4] Aşağıdaki resimde ${\textstyle \angle ABC}$, ${\textstyle \angle BCA}$ ve ${\textstyle \angle CAB}$ açıları üçgenin üç iç açısıdır. Üçgenin kenarlarından birinin uzatılmasıyla bir dış açı oluşturulur; uzatılmış taraf ile diğer taraf arasındaki açı dış açıdır. Resimde ${\textstyle \angle ACD}$ açısı bir dış açıdır.

Öklid dış açı teoremi

Öklid tarafından verilen Önerme 1.16'nın ispatı, genellikle Öklid'in kusurlu bir kanıt sunduğu bir yer olarak gösterilmektedir.[5][6][7]

Öklid, dış açı teoremini şu şekilde kanıtlar:

• ${\textstyle AC}$ doğru parçasının ${\textstyle E}$ orta noktasını bulun,
• ${\textstyle BE}$ ışınını çizin,
• ${\textstyle F}$ noktasını ${\textstyle BE}$ ışını üzerinde çizin, böylece ${\textstyle E}$ (aynı zamanda) ${\textstyle B}$ ve ${\textstyle F}$'nin orta noktası olur,
• ${\textstyle FC}$ doğru parçasını çizin.

Eş üçgenler vasıtasıyla, ${\textstyle \angle BAC}$ = ${\textstyle \angle ECF}$ ve ${\textstyle \angle ECF}$'nin ${\textstyle \angle ECD}$'den daha küçük olduğu, ${\textstyle \angle ECD}$ = ${\textstyle \angle ACD}$ olduğu sonucuna varabiliriz, bu nedenle ${\textstyle \angle BAC}$ açısı, ${\textstyle \angle ACD}$'den küçüktür ve aynı şey ${\textstyle \angle CBA}$ açısı için ${\textstyle BC}$'yi ikiye bölerek yapılabilir.

Kusur, bir noktanın (yukarıda, ${\textstyle F}$) "iç" açı (${\textstyle \angle ACD}$) olduğu varsayımında yatmaktadır. Bu iddia için hiçbir neden belirtilmemiştir, ancak devamındaki diyagram, onu gerçek bir ifade gibi gösterir. Öklid geometrisi için tam bir aksiyom seti kullanıldığında (bkz. Geometrinin Temelleri) bu Öklid savı kanıtlanabilir.[6]

Küresel geometride geçersiz

Küçük üçgenler neredeyse Öklid tarzında davranabilir, ancak büyük üçgenin tabanındaki dış açılar, Öklid'in dış açı teoremine bir çelişki olarak 90°'dir.

Dış açı teoremi, küresel geometride veya ilgili eliptik geometride geçerli değildir. Biri Kuzey Kutbu olan ve diğer ikisi ekvator üzerinde bulunan küresel bir üçgen düşünün. Kuzey Kutbu'ndan çıkan üçgenin kenarları (kürenin büyük çemberleri) her ikisi de ekvatoru dik açılarda karşılamaktadır, bu nedenle bu üçgenin uzak bir iç açıya eşit bir dış açısı vardır. Diğer iç açı (Kuzey Kutbu'nda) 90°'den daha büyük yapılabilir, bu da bu ifadenin kusurunu vurgulamaktadır. Bununla birlikte, Öklid'in dış açı teoremi mutlak geometride bir teorem olduğundan, hiperbolik geometride otomatik olarak geçerlidir.

Lise dış açı teoremi

Lise dış açı teoremi (LDAT), bir üçgenin tepe noktasındaki dış açının boyutunun, üçgenin diğer iki köşesindeki iç açıların boyutlarının toplamına eşit olduğunu söyler (uzak iç açılar). Bu nedenle, resimde ${\textstyle \angle ACD}$ açısının boyutu ${\textstyle \angle ABC}$ açısının boyutu artı ${\textstyle \angle CAB}$ açısının boyutuna eşittir.

LDAT mantıksal olarak bir üçgenin açılarının toplamının 180° olduğu şeklindeki Öklid ifadesine eşdeğerdir. Bir üçgende açıların ölçülerinin toplamının 180° olduğu biliniyorsa, LDAT aşağıdaki şekilde ispatlanır:

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle b+d=b+a+c}$

${\displaystyle \therefore d=a+c.}$

Öte yandan, LDAT doğru bir ifade olarak alınırsa:

${\displaystyle d=a+c}$

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore b+a+c=180^{\circ }.}$

LDAT kanıtının çizimi

Bir üçgenin açılarının ölçülerinin toplamının 180° olduğunu kanıtlamak.

LDAT'nin Öklid kanıtı (ve aynı anda bir üçgenin açılarının toplamı üzerindeki sonuç) ${\textstyle C}$ noktasından geçen ${\textstyle AB}$ tarafına paralel bir çizgi oluşturarak ve ardından sonucu resimdeki gibi elde etmek üzere karşılık gelen açıların özelliklerini ve paralel çizgilerin alternatif iç açılarını kullanarak başlar.[8]

LDAT, bir üçgende bilinmeyen açıların ölçülerini hesaplamaya çalışırken son derece yararlı olabilir.

Notlar

1. Henderson & Taimiņa 2005, s. 110
2. Wylie, Jr. 1964, s. 101 & s. 106
3. Bir doğru parçasının iki ucundan biri başlangıç tarafı ve diğeri de son taraf olarak kabul edilir. Açı, başlangıç tarafından son tarafa saat yönünün tersine gidilerek oluşturulur. Doğru parçasının hangi kenarının başlangıç olduğunun seçimi isteğe bağlıdır, bu nedenle doğru parçaları tarafından oluşturulan açı için iki olasılık vardır.
4. İç açıları bu şekilde tanımlamak bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu varsaymaz.
5. Faber 1983, s. 113
6. Greenberg 1974, s. 99
7. Venema 2006, s. 10
8. Heath 1956, Vol. 1, s. 316

Kaynakça

• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications.

(3 vols.): 0-486-60088-2 (vol. 1), 0-486-60089-0 (vol. 2), 0-486-60090-4 (vol. 3).

• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History, 3rd, Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
• Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
• Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill

LDAT kaynakları

• Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
• Geometry Common Core, 'Pearson Education: Upper Saddle River, ©2010, pages 171-173 | United States.
• Wheater, Carolyn C. (2007). Homework Helpers: Geometry. Franklin Lakes, NJ: Career Press. ss. 88-90. ISBN 978-1-56414-936-7..